Para cada função f(x), calcule lim x a^+ f(x) e lim x a^- f(x), verificando se existe lim x a f(x) :
p) f(x)=14 x(x-3)^2, a=3

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=14x(x-3)^2 e pede os limites laterais em a=3, ou seja, limxto3^+f(x) e limxto3^-f(x), além de verificar se existe o limite em x=3. O conteúdo envolve limites laterais e limites infinitos.

Passo 2

Para limites infinitos, quando o denominador de uma fração tende a zero e o numerador tende a um número não nulo, o valor da função cresce em módulo. Aqui precisamos também analisar o sinal do denominador. Observe que o termo (x-3)^2 é sempre não negativo e tende a zero quando xto3.

Passo 3

Primeiro, note que perto de x=3 o fator x no denominador é aproximadamente 3, positivo. Já (x-3)^2 tende a zero por ser quadrado. Assim, o denominador 4x(x-3)^2 tende a 4cdot3cdot0^+=0^+. Como o numerador é constante 1>0, temos
limxto3^+f(x)=limxto3^+14x(x-3)^2=+infty

Passo 4

O mesmo raciocínio vale para xto3^-: o fator x continua positivo (próximo de 3), e (x-3)^2 tende a zero não negativo, de modo que o denominador vai para 0^+. Logo,
limxto3^-f(x)=+infty

Passo 5

Como as duas laterais são iguais (ambas +\infty), o limite bilateral também é +\infty em sentido estendido, não existindo limite finito em x=3.

Resposta

limxto3^+f(x)=+infty,;limxto3^-f(x)=+infty. Não existe limite finito em x=3 (o limite é +\infty).

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