^a Questão Indique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
(b) (4.0) sec ^2(x)-tg^2(x)=1, forall x neq pi2+k pi, k in Z.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a identidade trigonométrica sec^2(x) - tan^2(x) = 1 é válida para todo x neq pi2 + kpi. O conteúdo principal é a relação pitagórica entre seno e cosseno e as definições de secante e tangente.

Passo 2

Vamos usar as definições
sec(x)=1cos(x), tan(x)=sin(x)cos(x)
Substituindo em sec^2(x)-tan^2(x) temos
sec^2(x)-tan^2(x) =1cos^2(x)-sin^2(x)cos^2(x)

Passo 3

Fatorando 1/cos^2(x) do numerador e usando a identidade fundamental sin^2(x)+cos^2(x)=1 (logo 1-sin^2(x)=cos^2(x)), obtemos
1-sin^2(x)cos^2(x) =cos^2(x)cos^2(x) =1

Passo 4

Como para x neq pi2+kpi temos cos(x)neq0, toda a manipulação é válida e o resultado final é 1, confirmando que a identidade vale no domínio indicado.

Resposta

Verdadeiro.

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