Indique, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Seja
uma série de números reais.
i. Se
, então a série converge.
ii. Se a série converge, então
.
iii. Se
, então a série diverge.
Seja
i. Se
ii. Se a série converge, então
iii. Se
Passo 1
Nesse exercício temos uma série
de números reais. Precisamos decidir, com base em conhecimento sobre testes de convergência, se cada afirmação envolvendo
e a convergência da série é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Afirmação (i): “Se
, então a série converge.” Essa condição é necessária, mas não suficiente. Um contraexemplo clássico é a série harmônica
, cujos termos vão a zero, mas que diverge. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Afirmação (ii): “Se a série converge, então
.” Esse é um resultado padrão: convergência de
implica que o termo geral
tende a zero. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (iii): “Se
, então a série diverge.” Como o limite dos termos não é zero, a série não pode convergir (teste da divergência). Logo, a afirmação é verdadeira.
Resposta
(i) Falsa; (ii) Verdadeira; (iii) Verdadeira