Indique, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Seja sumn=1^+infty an uma série de números reais.
i. Se lim n infty an=0, então a série converge.
ii. Se a série converge, então lim n infty an=0.
iii. Se lim n infty an=12, então a série diverge.

Passo 1

Nesse exercício temos uma série sumn=1^+infty an de números reais. Precisamos decidir, com base em conhecimento sobre testes de convergência, se cada afirmação envolvendo limntoinftyan e a convergência da série é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Afirmação (i): “Se limntoinftyan=0, então a série converge.” Essa condição é necessária, mas não suficiente. Um contraexemplo clássico é a série harmônica sumn=1^+inftytfrac1n, cujos termos vão a zero, mas que diverge. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmação (ii): “Se a série converge, então limntoinftyan=0.” Esse é um resultado padrão: convergência de sum an implica que o termo geral an tende a zero. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (iii): “Se limntoinftyan=tfrac12, então a série diverge.” Como o limite dos termos não é zero, a série não pode convergir (teste da divergência). Logo, a afirmação é verdadeira.

Resposta

(i) Falsa; (ii) Verdadeira; (iii) Verdadeira

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