Para cada função, calcule f^prime(x) :
(b) ; f(x)=(sen x+1)(cos x)+5 x

Passo 1

Nesse exercício, a gente vai derivar a função f(x) = (sin x + 1)cos x + 5x. O conteúdo principal é derivada de produto (para (sin x + 1)cos x) e derivadas básicas de sin x, cos x e de função linear.

Passo 2

Para o termo (sin x + 1)cos x, aplicamos a regra do produto. Se definimos u = sin x + 1 e v = cos x, então u' = cos x e v' = -sin x. Logo,
ddxl[(sin x + 1)cos xr] = u'v + uv' = cos x cdot cos x + (sin x + 1)(-sin x)

Passo 3

Simplificando essa expressão,
cos^2 x - (sin x + 1)sin x = cos^2 x - sin^2 x - sin x

Passo 4

Agora derivamos o termo 5x, que é 5. Somando tudo, temos
$$
f’(x) = \cos^2 x - \sin^2 x - \sin x + 5.$$

Passo 5

Opcionalmente, podemos usar a identidade trigonométrica cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x para reescrever
$$
f’(x) = \cos(2x) - \sin x + 5.$$

Resposta

f'(x) = cos^2 x - sin^2 x - sin x + 5

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