Nos itens abaixo, encontre os extremos relativos de f no intervalo dado, classificando-os. A seguir, diga, justificando, se tais extremos são também absolutos no referido intervalo.
f(x)=x^4+1x^2,(0,+infty)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de f no intervalo (0,+∞), classificá-los e dizer se são também absolutos. O conteúdo é derivação de funções e teste da segunda derivada para extremação.

Passo 2

Primeiro a gente simplifica f(x) para facilitar a derivada. Note que
f(x)=x^4+1x^2=x^2+1x^2,
então vamos usar a regra de potência para derivar.

Passo 3

Agora calculamos a derivada primeira:
f'(x)=2x-2x^-3=2x-2x^3
Para achar os pontos críticos, resolvemos f’(x)=0:
2x-2x^3=0Longrightarrow 2x=2x^3Longrightarrow x^4=1Longrightarrow x=1
(desconsideramos x=−1 porque o domínio é (0,+∞)).

Passo 4

Para classificar, usamos a segunda derivada. Derivando f’(x):
f''(x)=2+6x^-4=2+6x^4
Como f’’(x)>0 para todo x>0, o ponto x=1 é um mínimo local.

Passo 5

Calculamos o valor nesse ponto e analisamos as bordas do intervalo:
f(1)=1^2+1^-2=2,
e quando x→0^+ ou x→+∞ temos f(x)→+∞. Logo esse mínimo local em x=1 é também o mínimo absoluto em (0,+∞), e não há máximos.

Resposta

Mínimo relativo em x=1 com f(1)=2, que é também mínimo absoluto. Não há máximos no intervalo (0,+∞).

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