Nos itens abaixo, encontre os extremos relativos de
no intervalo dado, classificando-os. A seguir, diga, justificando, se tais extremos são também absolutos no referido intervalo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de f no intervalo (0,+∞), classificá-los e dizer se são também absolutos. O conteúdo é derivação de funções e teste da segunda derivada para extremação.
Passo 2
Primeiro a gente simplifica f(x) para facilitar a derivada. Note que
então vamos usar a regra de potência para derivar.
Passo 3
Agora calculamos a derivada primeira:
Para achar os pontos críticos, resolvemos f’(x)=0:
(desconsideramos x=−1 porque o domínio é (0,+∞)).
Passo 4
Para classificar, usamos a segunda derivada. Derivando f’(x):
Como f’’(x)>0 para todo x>0, o ponto x=1 é um mínimo local.
Passo 5
Calculamos o valor nesse ponto e analisamos as bordas do intervalo:
e quando x→0^+ ou x→+∞ temos f(x)→+∞. Logo esse mínimo local em x=1 é também o mínimo absoluto em (0,+∞), e não há máximos.
Resposta
Mínimo relativo em x=1 com f(1)=2, que é também mínimo absoluto. Não há máximos no intervalo (0,+∞).