Questão 3 (3,5 pontos)
Determine soluções limitadas do problema de de fronteira:
Determine soluções limitadas do problema de de fronteira:
Passo 1
O enunciado é o problema de Dirichlet para a equação de Laplace em coordenadas polares no disco de raio
. Precisamos encontrar todas as soluções
que sejam limitadas em
e satisfaçam a condição de contorno
O método clássico é usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier.
Passo 2
Suponha
Substituindo em
dá, após dividir por
,
A periodicidade em
exige
,
, com
e
. A equação radial fica
cuja solução geral é
Para
, a condição de ser limitada em
obriga
. No caso
obtemos
, e exigir limite finito em
dá
.
Passo 3
Logo a forma geral das soluções limitadas é
onde os coeficientes
serão determinados pela condição de contorno.
Passo 4
Em
precisamos ter
Expandindo
em série de Fourier,
temos a identificação
Os coeficientes
são dados por
Logo
Resposta
A solução limitada do problema é