Questão 3 (3,5 pontos)
Determine soluções limitadas do problema de de fronteira:
& ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0, D:(r<2,0<theta<2 pi) & u(2, theta)=f(theta)

Passo 1

O enunciado é o problema de Dirichlet para a equação de Laplace em coordenadas polares no disco de raio 2. Precisamos encontrar todas as soluções u(r,theta) que sejam limitadas em 0<= r<2 e satisfaçam a condição de contorno
u(2,theta)=f(theta)
O método clássico é usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier.

Passo 2

Suponha
u(r,theta)=R(r),Theta(theta)
Substituindo em
urr+1r ur+1r^2uthetatheta=0
dá, após dividir por R,Theta,
r^2R''+rR'R + Theta''Theta=0;Longrightarrow; Theta''Theta=-lambda, r^2R''+rR'-lambda R=0
A periodicidade em theta exige lambda=n^2, n=0,1,2,dots, com Thetan(theta)=cos(ntheta) e sin(ntheta). A equação radial fica
r^2R''+rR'-n^2R=0,
cuja solução geral é
Rn(r)=Cn,r^n + Dn,r^-n
Para n>=1, a condição de ser limitada em r=0 obriga Dn=0. No caso n=0 obtemos R0(r)=C0 + D0ln r, e exigir limite finito em rto0 D0=0.

Passo 3

Logo a forma geral das soluções limitadas é
u(r,theta)=A0+sumn=1^inftyl(An,r^ncos(ntheta)+Bn,r^nsin(ntheta)r),
onde os coeficientes An,Bn serão determinados pela condição de contorno.

Passo 4

Em r=2 precisamos ter
u(2,theta)=A0+sumn=1^inftyl(An,2^ncos(ntheta)+Bn,2^nsin(ntheta)r) =f(theta)
Expandindo f em série de Fourier,
f(theta)=A0+sumn=1^inftyl(ancos(ntheta)+bnsin(ntheta)r),
temos a identificação
an=An,2^n, bn=Bn,2^n
Os coeficientes an,bn são dados por
A0=12piintegral0^2pif(varphi),dvarphi, an=1piintegral0^2pif(varphi)cos(nvarphi),dvarphi, bn=1piintegral0^2pif(varphi)sin(nvarphi),dvarphi
Logo
An=an2^n, Bn=bn2^n

Resposta

A solução limitada do problema é
u(r,theta) =12piintegral0^2pif(varphi),dvarphi +sumn=1^inftyl(r2r)^n l[l(tfrac1pi!integral0^2pif(varphi)cos(nvarphi),dvarphir)cos(ntheta) +l(tfrac1pi!integral0^2pif(varphi)sin(nvarphi),dvarphir)sin(ntheta)r]

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