Exercício 3. (F. 3.2, ex.1) Mostre que o conjunto
das funções
, em que
sen
, é um conjunto ortonormal, ou seja,
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto de funções
e pede para mostrar que elas satisfazem
O conteúdo aqui é ortonormalidade de funções via integral e vamos usar identidade trigonométrica e cálculo de integrais de cosseno.
Passo 2
Escrevemos o produto interno usando o fator de normalização:
onde definimos
Passo 3
Aplicamos a identidade
com
A=ax e
B=bx . Assim
onde
Passo 4
Calculamos
Ik de forma geral:
Para
nneq m temos
logo
Isto implica
I1=I2=0 e portanto
Passo 5
Para
n=m temos
a=b , logo
Passo 6
Concluímos que
ou seja
lang<=phin,phimrang<==de<anm .
Resposta
Foi demonstrado que
ou seja, o conjunto
phin é ortonormal em
[0,l] .