Exercício 3. (F. 3.2, ex.1) Mostre que o conjunto phinn=1^infty das funções phin:[0, l] C, em que phin(x)= (2l)^12 sen ((n-12) pi xl), n >= 1, é um conjunto ortonormal, ou seja,
lang<=phin, phinrang<==integral0^l phin(x) phin(x) d x=de<an m=l 1, se n=m 0, se n neq m

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de funções
phin(x)=raiz2l;sin!gl(l(n-tfrac12r)tfracpi xlgr), xin[0,l],;n>=1,
e pede para mostrar que elas satisfazem
lang<=phin,phimrang<= =integral0^lphin(x),phim(x),dx =de<anm
O conteúdo aqui é ortonormalidade de funções via integral e vamos usar identidade trigonométrica e cálculo de integrais de cosseno.

Passo 2

Escrevemos o produto interno usando o fator de normalização:
lang<=phin,phimrang<= =2lintegral0^l sin!l(a xr),sin!l(b xr),dx,
onde definimos
a=l(n-tfrac12r)pil, b=l(m-tfrac12r)pil

Passo 3

Aplicamos a identidade
sin(A)sin(B) =tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
com A=ax e B=bx. Assim
lang<=phin,phimrang<= =2lintegral0^l tfrac12l[cos!l((a-b)xr)-cos!l((a+b)xr)r]dx =1ll[I1 - I2r],
onde
I1=integral0^lcos!l((a-b)xr)dx, I2=integral0^lcos!l((a+b)xr)dx

Passo 4

Calculamos Ik de forma geral:
integral0^lcos(Kx),dx =[sin(Kx)K]0^l =sin(Kl)K-0
Para nneq m temos
K1=(a-b)=(n-m)pil, K2=(a+b)=(n+m-1)pil,
logo
sin(K1l)=sinl((n-m)pir)=0, sin(K2l)=sinl((n+m-1)pir)=0
Isto implica I1=I2=0 e portanto
lang<=phin,phimrang<==0 (se nneq m)

Passo 5

Para n=m temos a=b, logo
lang<=phin,phinrang<= =2lintegral0^lsin^2(ax),dx =2lintegral0^ltfrac1-cos(2ax)2,dx =1ll[l-underbracetfracsin(2al)2a=0r] =1

Passo 6

Concluímos que
lang<=phin,phimrang<= = 0,&nneq m, 1,&n=m,
ou seja lang<=phin,phimrang<==de<anm.

Resposta

Foi demonstrado que
lang<=phin,phimrang<==de<anm,
ou seja, o conjunto phin é ortonormal em [0,l].

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