Para cada função dada abaixo, esboce o gráfico de modo que a função seja periódica par ou periódica ímpar, conforme indicado. Em seguida, encontre a sua Série de Fourier.
se
, ímpar
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica de período
que vale
e pede a extensão ímpar. Vamos esboçar o perfil no intervalo base e depois obter sua Série de Fourier, que para função ímpar terá só termos em seno.
Passo 2
Para extensão ímpar exigimos
. Como em
temos
, então para
vale
Logo em todo
temos
e o gráfico é o clássico “sawtooth” decrescente de
em
, repetido com período
.
Passo 3
Para função ímpar a Série de Fourier é
com
porque
e
são ambas ímpares, tornando o integrando par.
Passo 4
Substituindo
em
:
Fazendo integração por partes em
:
Portanto
Resposta
A Série de Fourier da extensão ímpar é