Para cada função dada abaixo, esboce o gráfico de modo que a função seja periódica par ou periódica ímpar, conforme indicado. Em seguida, encontre a sua Série de Fourier.
f(x)=-x se -\pi \leq x<0, f(x+2 \pi)=f(x), ímpar

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica de período 2\pi que vale
f(x)=-x\quad\text{para }-\pi \le x<0,
e pede a extensão ímpar. Vamos esboçar o perfil no intervalo base e depois obter sua Série de Fourier, que para função ímpar terá só termos em seno.

Passo 2

Para extensão ímpar exigimos f(-x)=-f(x). Como em -\pi<x<0 temos f(x)=-x, então para 0<x<\pi vale
f(x)=-f(-x)=-\bigl(-(-x)\bigr)=-x.
Logo em todo -\pi<x<\pi temos
f(x)=-x,
e o gráfico é o clássico “sawtooth” decrescente de (-\pi,\pi) em (\pi,-\pi), repetido com período 2\pi.

Passo 3

Para função ímpar a Série de Fourier é
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx),
com
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx
porque f e \sin(nx) são ambas ímpares, tornando o integrando par.

Passo 4

Substituindo f(x)=-x em [0,\pi]:
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(-x)\sin(nx)\,dx =-\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes em \displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx:
\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =-\frac{x\cos(nx)}{n}\Big|_{0}^{\pi} +\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx =-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} =-\frac{\pi(-1)^n}{n}.
Portanto
b_n =-\frac{2}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\Bigr) =\frac{2(-1)^n}{n}.

Resposta

A Série de Fourier da extensão ímpar é
f(x) =2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\sin(nx).

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