Para cada função dada abaixo, esboce o gráfico de modo que a função seja periódica par ou periódica ímpar, conforme indicado. Em seguida, encontre a sua Série de Fourier.
f(x)=1 se 0 \leq x<1, f(x)=0 se 1 \leq x<2, f(x+4)=f(x), par

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período T=4\) com \[f(x)= \begin{cases} 1, & 0 \le x < 1,\\\\ 0, & 1 \le x < 2, \end{cases}
e pede que ela seja estendida como função par. Vamos esboçar o gráfico nessa extensão e depois obter a Série de Fourier, lembrando que para função par de período (4] só aparecem termos em cosseno.

Passo 2

Como f é par de período 4, basta desenhar em [-2,2] e repetir. Em [0,1) vale 1, em [1,2) vale 0. Pela paridade, em [-1,0] vale também 1 e em [-2,-1] vale 0. Depois reproduz-se esse padrão de bloco de largura 4 ao longo de todo o eixo.

Passo 3

Para período T=4 temos L=T/2=2 e a Série de Fourier de uma função par é
f(x)=\frac{a_{0}}{2} \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr),
onde
a_{0}=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\,dx, \quad a_{n}=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr)\,dx,
e todos os b_{n}=0.

Passo 4

Cálculo de a_{0}. Como f é par,
\int_{-2}^{2}f(x)\,dx=2\int_{0}^{2}f(x)\,dx =2\Bigl(\int_{0}^{1}1\,dx+\int_{1}^{2}0\,dx\Bigr)=2\cdot1=2.
Logo
a_{0}=\frac{1}{2}\cdot2=1.

Passo 5

Cálculo de a_{n}. Ainda pela paridade,
a_{n} =\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr)\,dx =\int_{0}^{2}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr)\,dx.
Fazendo a integral,
a_{n} =\left[\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr)\right]_{0}^{1} =\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Observe que \sin(n\pi/2)=0 para n par e vale (-1)^{k} para n=2k+1.

Passo 6

Substituindo em
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr)
ficamos com
f(x)=\frac{1}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr).
Agrupando apenas os n ímpares n=2k+1 e usando \sin\bigl((2k+1)\pi/2\bigr)=(-1)^{k}, uma forma mais explícita é
f(x)=\frac12 +\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2(-1)^{k}}{(2k+1)\pi} \cos\!\bigl(\tfrac{(2k+1)\pi}{2}x\bigr).

Resposta

\boxed{ f(x)=\frac12 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\, \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr) }
ou, reunindo apenas termos ímpares n=2k+1,
\boxed{ f(x)=\frac12 +\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2(-1)^{k}}{(2k+1)\pi} \cos\!\bigl(\tfrac{(2k+1)\pi}{2}x\bigr). }

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