Para cada função dada abaixo, esboce o gráfico de modo que a função seja periódica par ou periódica ímpar, conforme indicado. Em seguida, encontre a sua Série de Fourier.
se
se
, par
Passo 1
O enunciado define a função periódica de período
e pede que ela seja estendida como função par. Vamos esboçar o gráfico nessa extensão e depois obter a Série de Fourier, lembrando que para função par de período (4] só aparecem termos em cosseno.
Passo 2
Como
é par de período
, basta desenhar em
e repetir. Em
vale
, em
vale
. Pela paridade, em
vale também
e em
vale
. Depois reproduz-se esse padrão de bloco de largura
ao longo de todo o eixo.
Passo 3
Para período
temos
e a Série de Fourier de uma função par é
onde
e todos os
.
Passo 4
Cálculo de
. Como
é par,
Logo
Passo 5
Cálculo de
. Ainda pela paridade,
Fazendo a integral,
Observe que
para
par e vale
para
.
Passo 6
Substituindo em
ficamos com
Agrupando apenas os
ímpares
e usando
, uma forma mais explícita é
Resposta
ou, reunindo apenas termos ímpares
,