Para cada função dada abaixo, esboce o gráfico de modo que a função seja periódica par ou periódica ímpar, conforme indicado. Em seguida, encontre a sua Série de Fourier.
se
, ímpar
Passo 1
O enunciado pede a extensão periódica de período
de
de modo que a função seja ímpar. Em seguida precisamos encontrar a Série de Fourier dessa função periódica ímpar. Para isso vamos:
- Definir a extensão ímpar e esboçar o gráfico.
- Usar o fato de que, para função ímpar de período
, somente aparecem termos senoidais na série. - Calcular os coeficientes
. - Escrever a série de Fourier.
Passo 2
Como queremos a extensão periódica ímpar, definimos para
E repetimos com período
. O esboço resulta num “pulso” quadrado alternando
para
e
para
, repetido a cada intervalo de comprimento
.
Passo 3
Para função ímpar de período
valem
e os coeficientes senoidais são dados por
Como
e
são ambas ímpares, o produto é par, e portanto
Passo 4
Calculando a integral:
Logo
Passo 5
A Série de Fourier fica então