Para cada função dada abaixo, esboce o gráfico de modo que a função seja periódica par ou periódica ímpar, conforme indicado. Em seguida, encontre a sua Série de Fourier.
f(x)=1 se 0 \leq x<\pi, f(x+2 \pi)=f(x), ímpar

Passo 1

O enunciado pede a extensão periódica de período 2\pi de
f(x)=1,\quad 0\le x<\pi,
de modo que a função seja ímpar. Em seguida precisamos encontrar a Série de Fourier dessa função periódica ímpar. Para isso vamos:
  1. Definir a extensão ímpar e esboçar o gráfico.
  2. Usar o fato de que, para função ímpar de período 2\pi, somente aparecem termos senoidais na série.
  3. Calcular os coeficientes b_n.
  4. Escrever a série de Fourier.

Passo 2

Como queremos a extensão periódica ímpar, definimos para -\pi<x<0
f(x)=-f(-x)=-1.
E repetimos com período 2\pi. O esboço resulta num “pulso” quadrado alternando +1 para x\in[0,\pi) e -1 para x\in[-\pi,0), repetido a cada intervalo de comprimento 2\pi.

Passo 3

Para função ímpar de período 2\pi valem
a_0=0, \quad a_n=0,
e os coeficientes senoidais são dados por
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx.
Como f e \sin(nx) são ambas ímpares, o produto é par, e portanto
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\cdot\sin(nx)\,dx.

Passo 4

Calculando a integral:
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx =\Bigl[-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1-(-1)^n}{n}.
Logo
b_n =\frac{2}{\pi}\,\frac{1-(-1)^n}{n} =\begin{cases} \displaystyle \frac{4}{\pi\,n},&n\text{ ímpar},\\[6pt] 0,&n\text{ par}. \end{cases}í]

Passo 5

A Série de Fourier fica então
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx) =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{\pi\,(2k-1)}\, \sin\bigl((2k-1)x\bigr).

Resposta

f(x) =\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k-1)x\bigr)}{2k-1}.

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