Considere o seguinte PVC da condução de calor numa barra:
K u_{x x}=u_{t}, \quad 0<x<L, t>0, u(0, t)=0, u(L, t)=0, u(x, 0)=f(x)
Suponha que a barra tem comprimento de 50 cm e temperatura inicial de 20^{\circ} \mathrm{C}.
Encontre a expressão que fornece a temperatura \mathbf{u}(\mathbf{x}, \mathbf{t}) da barra.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de contorno
K\,u_{xx} = u_{t},\quad 0<x<L,\;t>0,\quad u(0,t)=0,\;u(L,t)=0,\;u(x,0)=f(x)
para L=50 cm e f(x)=20 (temperatura inicial uniforme). Vamos usar o método de separação de variáveis e expandir f(x) numa série de senos.

Passo 2

Assumimos
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE e dividindo por KXT
\frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{1}{K}\,\frac{T'(t)}{T(t)}=\!-\lambda.
As C.C. X(0)=X(L)=0 dão valores próprios
\lambda_n=\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\Bigr)^2,\quad X_n(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr),
e a parte temporal
T_n(t)=\exp\!\Bigl(-K\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\bigr)^2 t\Bigr).

Passo 3

A solução geral é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\, \exp\!\Bigl(-K\tfrac{n^2\pi^2}{L^2}\,t\Bigr),
onde os coeficientes B_n vêm de u(x,0)=f(x)=20.

Passo 4

Calculamos
B_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}20\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\,dx =\frac{40}{n\pi}\bigl[1-(-1)^n\bigr].
Como 1-(-1)^n vale 2 para n ímpar e 0 para n par, só restam os termos ímpares.

Passo 5

Escrevendo n=2m-1, obtemos
B_{2m-1}=\frac{80}{(2m-1)\pi},\quad m=1,2,\dots
Logo a solução final fica:

Resposta

u(x,t) =\sum_{m=1}^{\infty} \frac{80}{(2m-1)\pi}\, \sin\!\Bigl(\tfrac{(2m-1)\pi}{50}x\Bigr)\, \exp\!\Bigl(-K\,\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi}{50}\bigr)^2 t\Bigr).

Exercícios relacionados