Para cada função g(t) dada abaixo, siga as etapas indicadas:
  • Determine a função derivada g^{\prime}(t).
  • Encontre a(s) raiz(es) de g^{\prime}(t), isto é, os valores de t para os quais g^{\prime}(t)=0.
  • Identifique o domínio de g^{\prime}(t).
    (c) g(t)=t^{2} \ln (3 t)+6

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(t) = t^{2}\,\ln\bigl(3t\bigr) + 6
e pede que a gente ache a derivada g'(t), suas raízes e o domínio de validade de g'(t). Para isso, vamos usar o produto das regras de derivação (produto e cadeia) e lembrar que o logaritmo natural exige 3t>0.

Passo 2

Vamos derivar a parte t^{2}\,\ln(3t) por produto. Se u(t)=t^{2} e v(t)=\ln(3t), então
u'(t)=2t \quad\text{e}\quad v'(t)=\frac{1}{3t}\cdot 3 = \frac{1}{t}.
Pela regra do produto,
\frac{d}{dt}\bigl[t^{2}\ln(3t)\bigr] = u'(t)\,v(t) + u(t)\,v'(t) = 2t\,\ln(3t) + t^{2}\,\frac{1}{t} = 2t\,\ln(3t) + t.
Como a constante 6 some na derivada, temos
g'(t) = 2t\,\ln(3t) + t.
Podemos fatorar t:
g'(t) = t\bigl(2\ln(3t) + 1\bigr).

Passo 3

Para achar as raízes de g'(t), resolvemos
t\bigl(2\ln(3t) + 1\bigr) = 0.
Isso dá duas possibilidades:
  1. t=0, mas t=0 não pertence ao domínio (ver Passo 4).
  2. 2\ln(3t) + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; \ln(3t) = -\tfrac12.
    Exponenciando,
3t = e^{-1/2} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{e^{-1/2}}{3}.

Passo 4

O domínio de g'(t) é aquele em que \ln(3t) faz sentido, ou seja
3t > 0 \quad\Longrightarrow\quad t > 0.
Portanto o domínio de g'(t) é (0,\infty).

Resposta

g’(t) = t\bigl(2\ln(3t) + 1\bigr).
A única raiz em (0,\infty) é t = e^{-1/2}/3.
O domínio de g'(t) é (0,\infty).

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