Cada função
dada abaixo é suposta
-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo
, calcule seus limites laterais nos pontos
e
e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: esboçar o gráfico em
e
e encontrar a série de Fourier de
. Vamos usar conceitos de simetria (paridade) e as fórmulas usuais para coeficientes de Fourier em
.
Passo 2
Como
vale
no intervalo
e
em
, o gráfico em cada período é um “meio-parabola” negativa à esquerda de zero e positiva à direita, espelhando-se a cada comprimento
. Assim, de
a
temos
negativa em
, de
a
é
, de
a
é
e de
a
repete-se
. O resultado é uma sequência de “semiparabólicas” alternadamente positiva e negativa.
Passo 3
Calculemos os limites laterais nos pontos de descontinuidade periódica.
Para
:
Logo,
é contínua em
.
Para
:
Há salto de
para
.
Para
:
Também há salto de
para
.
Passo 4
Observamos que
em
, ou seja,
é ímpar. Nas séries de Fourier ímpares em
, só aparecem termos senoidais:
Passo 5
Calculemos
Integramos por partes com
,
:
Em seguida, para
,
integramos por partes ,
, obtendo
integramos por partes
Logo
Portanto
Passo 6
A série de Fourier de
é
Resposta
O gráfico de
em
é uma repetição de semiparabólicas negativa em cada intervalo
e positiva em
.
Os limites laterais são
A série de Fourier é
Os limites laterais são
A série de Fourier é