Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. Vamos precisar usar cálculo diferencial para encontrar os pontos críticos, máximos e mínimos, regiões de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e verificar se existem assíntotas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, para achar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada primeira da função e ver onde ela é igual a zero. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de
é:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver essa equação mais tarde nos detalhes.
Passo 3
Vamos resolver
. Podemos rearranjar:
Dividindo os dois lados por
(quando
):
Isso acontece quando:
Então, os pontos críticos são todos os
.
Passo 4
Agora, vamos à concavidade e aos pontos de inflexão. Para isso, calculamos a derivada segunda:
Os pontos de inflexão ocorrem onde a derivada segunda muda de sinal, ou seja, onde
:
Dividindo por
(quando
):
Então, os pontos de inflexão são todos os
.
Passo 5
Vamos agora analisar as regiões de crescimento e decrescimento. Olhando a derivada primeira
:
- Quando
, a função está crescendo. - Quando
, a função está decrescendo.
Como
varia periodicamente, podemos identificar intervalos baseados nos pontos críticos que encontramos.
Passo 6
Para os máximos e mínimos, observamos o comportamento da derivada primeira ao redor dos pontos críticos:
- Se a derivada passa de positiva para negativa, temos um máximo.
- Se passa de negativa para positiva, temos um mínimo.
Aplicando isso em
, podemos determinar se é máximo ou m��nimo verificando o sinal de
antes e depois desses pontos.
Passo 7
Sobre as assíntotas, como nossa função
é uma combinação de funções trigonométricas periódicas, ela não possui assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas. As funções seno e cosseno são limitadas e não se aproximam de nenhuma reta específica quando
tende ao infinito.
Resposta
Resumindo tudo:
- Pontos críticos:
para todo . - Máximos e Mínimos:
- Máximos locais em
. - Mínimos locais em
.
- Máximos locais em
- Regiões de Crescimento: Entre
e . - Regiões de Decrescimento: Entre
e . - Concavidade:
- Concava para cima em
. - Concava para baixo em
.
- Concava para cima em
- Pontos de Inflexão:
para todo . - Assíntotas: Não existem assíntotas para esta função.
E aí está! Todos os detalhes sobre a função
.