Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(g) f(x)=sen x-cos x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . Vamos precisar usar cálculo diferencial para encontrar os pontos críticos, máximos e mínimos, regiões de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e verificar se existem assíntotas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, para achar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada primeira da função e ver onde ela é igual a zero. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de f'(x) = cos x + sin x é:
cos x + sin x = 0
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver essa equação mais tarde nos detalhes.

Passo 3

Vamos resolver sin x = -cos x . Podemos rearranjar:
tan x = -1
Dividindo os dois lados por x = 3pi4 + kpi para todo k in Z (quando ):
Isso acontece quando:
Então, os pontos críticos são todos os .

Passo 4

Agora, vamos à concavidade e aos pontos de inflexão. Para isso, calculamos a derivada segunda:
f''(x) = -sin x + cos x
Os pontos de inflexão ocorrem onde a derivada segunda muda de sinal, ou seja, onde -sin x + cos x = 0 implies cos x = sin x :
tan x = 1 implies x = pi4 + kpi para todo k in Z
Dividindo por (quando ):
Então, os pontos de inflexão são todos os .

Passo 5

Vamos agora analisar as regiões de crescimento e decrescimento. Olhando a derivada primeira :
  • Quando , a função está crescendo.
  • Quando , a função está decrescendo.
Como varia periodicamente, podemos identificar intervalos baseados nos pontos críticos que encontramos.

Passo 6

Para os máximos e mínimos, observamos o comportamento da derivada primeira ao redor dos pontos críticos:
  • Se a derivada passa de positiva para negativa, temos um máximo.
  • Se passa de negativa para positiva, temos um mínimo.
Aplicando isso em , podemos determinar se é máximo ou m��nimo verificando o sinal de antes e depois desses pontos.

Passo 7

Sobre as assíntotas, como nossa função é uma combinação de funções trigonométricas periódicas, ela não possui assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas. As funções seno e cosseno são limitadas e não se aproximam de nenhuma reta específica quando tende ao infinito.

Resposta

Resumindo tudo:
  • Pontos críticos: para todo .
  • Máximos e Mínimos:
    • Máximos locais em .
    • Mínimos locais em .
  • Regiões de Crescimento: Entre e .
  • Regiões de Decrescimento: Entre e .
  • Concavidade:
    • Concava para cima em .
    • Concava para baixo em .
  • Pontos de Inflexão: para todo .
  • Assíntotas: Não existem assíntotas para esta função.
E aí está! Todos os detalhes sobre a função .

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