Calcule os seguintes limites:
lim x 0 raiz2 x+1-2 raizx+1+1x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 raiz2 x+1-2 raizx+1+1x^2
Aqui, usamos conceitos de cálculo de limites e expansão em série de Taylor para funções radicais. Vamos precisar entender como expandir as raízes quadradas em séries para aproximar a expressão quando está próximo de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para pequenos valores de raiz1 + a approx 1 + a2 - a^28 , podemos aproximar a raiz quadrada usando a série de Taylor. A fórmula geral para quando é pequeno é:
Vamos aplicar isso para e .

Passo 3

Aplicando a aproximação para raiz2x + 1 = raiz1 + 2x approx 1 + 2x2 - (2x)^28 = 1 + x - x^22 :

Passo 4

Agora, para raizx + 1 approx 1 + x2 - x^28 :
2raizx + 1 approx 2(1 + x2 - x^28) = 2 + x - x^24
Como temos na expressão original, multiplicamos tudo por 2:

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão original:
raiz2x + 1 - 2raizx + 1 + 1 approx (1 + x - x^22) - (2 + x - x^24) + 1

Passo 6

Simplificando os termos:
1 + x - x^22 - 2 - x + x^24 + 1 = (1 - 2 + 1) + (x - x) + (-x^22 + x^24) = 0 - x^24

Passo 7

Agora, a expressão do limite fica:
-x^24x^2 = -14

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados