Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, usamos conceitos de cálculo de limites e expansão em série de Taylor para funções radicais. Vamos precisar entender como expandir as raízes quadradas em séries para aproximar a expressão quando
está próximo de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para pequenos valores de
, podemos aproximar a raiz quadrada usando a série de Taylor. A fórmula geral para
quando
é pequeno é:
Vamos aplicar isso para
e
.
Passo 3
Aplicando a aproximação para
:
Passo 4
Agora, para
:
Como temos
na expressão original, multiplicamos tudo por 2:
Passo 5
Substituindo essas aproximações na expressão original:
Passo 6
Simplificando os termos:
Passo 7
Agora, a expressão do limite fica:
Resposta
O limite é
.