Calcule os seguintes limites:
lim x 0^+(raiz1x+raiz1x+raiz1x-raiz1x-raiz1x+raiz1x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite L = limxto0^+l(raiztfrac1x+raiztfrac1x+raiztfrac1x; -;raiztfrac1x-raiztfrac1x+raiztfrac1xr). Isso envolve radicais aninhados e precisamos de ferramentas de expansão assintótica (séries de Taylor para raízes) para lidar com termos que crescem sem limite.

Passo 2

Para facilitar a análise, fazemos a mudança de variável A = tfrac1x. Assim, quando xto0^+ temos Ato+infty. O limite vira
L = limAto+inftyl(raizA + raizA + raizA; - ;raizA - raizA + raizAr)

Passo 3

Definimos
S = raizA + raizA
Como A é grande, usamos a expansão de Taylor de raiz1+varepsilonapprox1+tfrac12varepsilon-tfrac18varepsilon^2 para varepsilon=tfracraiz AA=A^-1/2. Isso dá
S = raizA,raiz1 + A^-1/2 approx raizAl(1 + tfrac12A^-1/2 - tfrac18A^-1r) = raizA + tfrac12 - tfrac18A^-1/2 + o(A^-1/2)

Passo 4

Agora aproximamos
C = raizA + S, D = raizA - S
De novo aplicamos a expansão para raiz1+varepsilon com varepsilon = tfrac S A ou varepsilon = -tfrac S A. Substituindo a expansão de S encontramos, até ordem constante,
C approx raizA + tfrac12 + tfrac18A^-1/2,
D approx raizA - tfrac12 - tfrac38A^-1/2

Passo 5

Então
C - D approx l(raizA + tfrac12 + tfrac18A^-1/2r) - l(raizA - tfrac12 - tfrac38A^-1/2r) = 1 + tfrac12A^-1/2
Como Ato+infty, o termo tfrac12A^-1/2 vai a zero, restando
L = 1

Resposta

1

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