Considere a seguinte equação diferencial x+(x^2 y+4 y) y^prime=0.
Mostre que não exata.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
x + (x^2y + 4y)y' = 0
não é exata. O conteúdo é equações diferenciais exatas e vamos precisar identificar as funções M(x,y) e N(x,y) e verificar a condição de exatidão.

Passo 2

Reescrevo a equação no formato diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Como y’ = dy/dx, temos
M(x,y) = x, N(x,y) = x^2y + 4y

Passo 3

Para testar exatidão, calculo as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partial partial y(x) = 0,
partial Npartial x = partial partial x(x^2y + 4y) = 2xy

Passo 4

Comparo as duas derivadas parciais. Para ser exata, precisaríamos de
$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
$$
Mas aqui 0 partial Mpartial y = partial Npartial x 2xy (salvo em pontos isolados). Portanto a equação NÃO é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata porque partial M/partial y = 0 e partial N/partial x = 2xy, e essas derivadas não coincidem.

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