Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(k) f(x)=x^2 e^-x^2.

Passo 1

A função dada é f(x) = x²
e^(−x²), definida para todo real. Vamos usar cálculo diferencial para achar pontos críticos (f′=0), estudar o sinal de f′ (crescimento/decrescimento), depois f′′ (concavidade e inflexões), e, por fim, assíntotas e esboço.

Passo 2

Derivamos usando produto e cadeia:
Começando por f′(x):
f'(x) = ddxl(x^2r) e^-x^2 + x^2 ddxl(e^-x^2r) = 2x e^-x^2 + x^2(-2x)e^-x^2 = 2x(1 - x^2)e^-x^2
Assim, f′(x)=0 ⇒ 2x(1−x²)=0 ⇒ x=0 ou x=±1.

Passo 3

Para estudar crescimento e classificar extremos, analisamos o sinal de f′(x)=2x(1−x²)e^{-x²}:
  • Em (−∞,−1): x<−1 ⇒ x<0 e (1−x²)<0 ⇒ f′>0 (cresce).
  • Em (−1,0): x∈(−1,0) ⇒ x<0 e (1−x²)>0 ⇒ f′<0 (decresce).
  • Em (0,1): x>0 e (1−x²)>0 ⇒ f′>0 (cresce).
  • Em (1,∞): x>1 ⇒ x>0 e (1−x²)<0 ⇒ f′<0 (decresce).
    Logo, em x=±1 há máximos locais, em x=0 há mínimo local. Avaliando f: f(±1)=e^{-1}≈0,3679; f(0)=0.

Passo 4

Agora f′′(x): usando f′(x)=g(x)e^{-x²} com g(x)=2x−2x³, obtemos
f''(x)=e^-x^2l(g'(x)-2xg(x)r)=e^-x^2l[2-6x^2-2x(2x-2x^3)r]=e^-x^2(2-10x^2+4x^4)
Isso é zero quando 1−5x²+2x⁴=0 ⇒ x²=\frac{5±√17}{4}, i.e. x≈±0,468 e x≈±1,514.

Passo 5

O sinal de f′′ determina a concavidade:
  • Concava para cima em (−∞,−1,514), (−0,468,0,468) e (1,514,∞).
  • Concava para baixo em (−1,514,−0,468) e (0,468,1,514).
    Pontos de inflexão em x≈±0,468 e x≈±1,514.

Passo 6

Como f(x)=x²e^{-x²}→0 quando x→±∞, há assíntota horizontal y=0. Não há assíntotas verticais nem oblíquas.

Passo 7

O gráfico é simétrico (f é par), cruza a origem com mínimo, tem picos em x=±1 e decai para zero nos extremos.

Resposta

Pontos críticos: x=−1,0,1.
Máximos locais em x=±1 com f(±1)=e^{−1}, mínimo local em x=0 com f(0)=0.
Cresce em (−∞,−1) e (0,1); decresce em (−1,0) e (1,∞).
Concavidade: para cima em (−∞,−1,514), (−0,468,0,468) e (1,514,∞); para baixo em (−1,514,−0,468) e (0,468,1,514).
Pontos de inflexão em x≈±0,468 e x≈±1,514.
Assíntota horizontal y=0; sem verticais nem oblíquas.
Gráfico: curva em sela na origem, picos em ±1 e decaimento simétrico para zero.

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