Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(k)
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(k)
Passo 1
A função dada é f(x) = x²
e^(−x²), definida para todo real. Vamos usar cálculo diferencial para achar pontos críticos (f′=0), estudar o sinal de f′ (crescimento/decrescimento), depois f′′ (concavidade e inflexões), e, por fim, assíntotas e esboço.
Passo 2
Derivamos usando produto e cadeia:
Começando por f′(x):
Assim, f′(x)=0 ⇒ 2x(1−x²)=0 ⇒ x=0 ou x=±1.
Passo 3
Para estudar crescimento e classificar extremos, analisamos o sinal de f′(x)=2x(1−x²)e^{-x²}:
- Em (−∞,−1): x<−1 ⇒ x<0 e (1−x²)<0 ⇒ f′>0 (cresce).
- Em (−1,0): x∈(−1,0) ⇒ x<0 e (1−x²)>0 ⇒ f′<0 (decresce).
- Em (0,1): x>0 e (1−x²)>0 ⇒ f′>0 (cresce).
- Em (1,∞): x>1 ⇒ x>0 e (1−x²)<0 ⇒ f′<0 (decresce).
Logo, em x=±1 há máximos locais, em x=0 há mínimo local. Avaliando f: f(±1)=e^{-1}≈0,3679; f(0)=0.
Passo 4
Agora f′′(x): usando f′(x)=g(x)e^{-x²} com g(x)=2x−2x³, obtemos
Isso é zero quando 1−5x²+2x⁴=0 ⇒ x²=\frac{5±√17}{4}, i.e. x≈±0,468 e x≈±1,514.
Passo 5
O sinal de f′′ determina a concavidade:
- Concava para cima em (−∞,−1,514), (−0,468,0,468) e (1,514,∞).
- Concava para baixo em (−1,514,−0,468) e (0,468,1,514).
Pontos de inflexão em x≈±0,468 e x≈±1,514.
Passo 6
Como f(x)=x²e^{-x²}→0 quando x→±∞, há assíntota horizontal y=0. Não há assíntotas verticais nem oblíquas.
Passo 7
O gráfico é simétrico (f é par), cruza a origem com mínimo, tem picos em x=±1 e decai para zero nos extremos.
Resposta
Pontos críticos: x=−1,0,1.
Máximos locais em x=±1 com f(±1)=e^{−1}, mínimo local em x=0 com f(0)=0.
Cresce em (−∞,−1) e (0,1); decresce em (−1,0) e (1,∞).
Concavidade: para cima em (−∞,−1,514), (−0,468,0,468) e (1,514,∞); para baixo em (−1,514,−0,468) e (0,468,1,514).
Pontos de inflexão em x≈±0,468 e x≈±1,514.
Assíntota horizontal y=0; sem verticais nem oblíquas.
Gráfico: curva em sela na origem, picos em ±1 e decaimento simétrico para zero.
Máximos locais em x=±1 com f(±1)=e^{−1}, mínimo local em x=0 com f(0)=0.
Cresce em (−∞,−1) e (0,1); decresce em (−1,0) e (1,∞).
Concavidade: para cima em (−∞,−1,514), (−0,468,0,468) e (1,514,∞); para baixo em (−1,514,−0,468) e (0,468,1,514).
Pontos de inflexão em x≈±0,468 e x≈±1,514.
Assíntota horizontal y=0; sem verticais nem oblíquas.
Gráfico: curva em sela na origem, picos em ±1 e decaimento simétrico para zero.