Encontre a solução geral da equação y^prime prime+2 y^prime-k y=0, nos seguintes casos
  • k>-1;
  • k=-1;
  • k<-1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y'' + 2y' - k y = 0. Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a fórmula característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral. Precisamos considerar três casos para o valor de k: quando k > -1, k = -1 e k < -1.

Passo 2

Primeiro, montamos a fórmula característica substituindo y'' por r^2, y' por r e y por 1. Assim, a equação fica:
r^2 + 2r - k = 0
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar as raízes r.

Passo 3

Para resolver a equação quadrática r^2 + 2r - k = 0, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 2 e c = -k. Substituindo:
r = -2 pm raiz4 + 4k2 = -2 pm raiz4(1 + k)2 = -1 pm raiz1 + k

Passo 4

Agora, vamos analisar os três casos com base no discriminante De:
  1. Quando k > -1:
    • Aqui, 1 + k > 0, então as raízes são reais e distintas.
    • As soluções são da forma: y = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x Onde r1 = -1 + raiz1 + k e r2 = -1 - raiz1 + k.
  2. Quando k = -1:
    • Agora, 1 + k = 0, então temos raízes reais e iguais.
    • A solução geral é: y = (C1 + C2 x)e^-1 x = (C1 + C2 x)e^-x
  3. Quando k < -1:
    • Aqui, 1 + k < 0, então a raiz quadrada envolve um número negativo, resultando em raízes complexas.
    • Podemos escrever raiz-(|1 + k|) = iraiz|1 + k|.
    • As soluções complexas levam à solução real da forma: y = e^-x(C1 cos(raiz|k + 1|x) + C2 sin(raiz|k + 1|x))

Resposta

A solução geral da equação y'' + 2y' - k y = 0 é:
  • Para k > -1:
    y = C1 e^(-1 + raiz1 + k)x + C2 e^(-1 - raiz1 + k)x
  • Para k = -1:
    y = (C1 + C2 x)e^-x
  • Para k < -1:
    y = e^-x(C1 cos(raiz|k + 1|,x) + C2 sin(raiz|k + 1|,x))
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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