Encontre a solução geral da equação
, nos seguintes casos
-
;
-
;
-
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a fórmula característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral. Precisamos considerar três casos para o valor de
: quando
,
e
.
Passo 2
Primeiro, montamos a fórmula característica substituindo
por
,
por
e
por 1. Assim, a equação fica:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar as raízes
.
Passo 3
Para resolver a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos analisar os três casos com base no discriminante
:
-
Quando
: - Aqui,
, então as raízes são reais e distintas. - As soluções são da forma:
Onde e .
- Aqui,
-
Quando
: - Agora,
, então temos raízes reais e iguais. - A solução geral é:
- Agora,
-
Quando
: - Aqui,
, então a raiz quadrada envolve um número negativo, resultando em raízes complexas. - Podemos escrever
. - As soluções complexas levam à solução real da forma:
- Aqui,
Resposta
A solução geral da equação
é:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Onde
e
são constantes arbitrárias.