Considere a seguinte equação diferencial
.
Encontre a solução geral.
Encontre a solução geral.
Passo 1
A equação dada é
. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem na forma
. Vamos usar o conceito de equação exata e integrar fator para resolver.
Passo 2
Identificamos
e
. Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Como
, a equação não é exata. Vamos buscar um fator integrante que dependa só de
.
Passo 4
Para um fator integrante
, usamos a relação
Integramos
\mu(x) = e^{\int 2/x,dx} = x^{2}.
]
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original por
. Isso dá
Agora são:
e
, e temos
logo a equação é exata.
Passo 6
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
Derivando em relação a
e igualando a
:
Logo
é constante.
Passo 7
A solução geral vem de
. Portanto, multiplicando por 3 para simplificar, temos:
que é a família de curvas solução.