Considere a seguinte equação diferencial e^x^3+sen(y)+(x3 cos (y)) y^prime=0.
Encontre a solução geral.

Passo 1

A equação dada é e^x^3 + sin(y) + x3cos(y),y' = 0. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem na forma M(x,y) + N(x,y)y' = 0. Vamos usar o conceito de equação exata e integrar fator para resolver.

Passo 2

Identificamos M(x,y) = e^x^3 + sin(y) e N(x,y) = x3cos(y). Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = cos(y), partial Npartial x = 13cos(y)

Passo 3

Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata. Vamos buscar um fator integrante que dependa só de x.

Passo 4

Para um fator integrante mu(x), usamos a relação
partial Mpartial y - partial Npartial xN = cos(y) - tfrac13cos(y)tfracx3cos(y) = tfrac23cos(y)tfracx3cos(y) = 2x
Integramos 2x para achar (
\mu(x) = e^{\int 2/x,dx} = x^{2}.
]

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=x^2. Isso dá
x^2e^x^3 + x^2sin(y) + x^33cos(y),y' = 0
Agora são: M^*(x,y)=x^2e^x^3 + x^2sin(y) e N^*(x,y)=tfracx^33cos(y), e temos
partial M^*partial y=x^2cos(y), partial N^*partial x=x^2cos(y),
logo a equação é exata.

Passo 6

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = x^2e^x^3 + x^2sin(y)
Integramos em relação a x:
psi(x,y) = integral x^2e^x^3,dx + integral x^2sin(y),dx = 13e^x^3 + x^33sin(y) + h(y)
Derivando em relação a y e igualando a N^*(x,y):
partial psipartial y = x^33cos(y) + h'(y) = x^33cos(y) implies h'(y)=0
Logo h(y) é constante.

Passo 7

A solução geral vem de psi(x,y)=C. Portanto, multiplicando por 3 para simplificar, temos:
e^x^3 + x^3sin(y) = C,
que é a família de curvas solução.

Resposta

e^x^3 + x^3sin(y) = C

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