Considere a seguinte equação diferencial x+(x^2 y+4 y) y^prime=0.
Encontre a solução geral.

Passo 1

Na equação diferencial temos x + (x^2y + 4y)y' = 0. O conteúdo é de variáveis separáveis: vamos isolar y', separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação, agrupamos y':
(x^2y + 4y)dydx = -x
Logo, isolando, fica
dydx = -xy,(x^2+4) .

Passo 3

Agora separamos as variáveis multiplicando por y e por dx:
y,dy = -xx^2+4,dx .

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral y,dy = integral -xx^2+4,dx .

Passo 5

No lado esquerdo temos
integral y,dy = y^22
e no direito usamos u = x^2+4, du = 2x,dx, obtendo
integral -xx^2+4,dx = -12ln(x^2+4) + C .

Passo 6

Juntando os resultados:
y^22 = -12ln(x^2+4) + C
Multiplicando por 2 e rearranjando, chegamos a
y^2 + ln(x^2+4) = C .

Resposta

A solução geral pode ser escrita implicitamente como
y^2 + ln(x^2+4) = C
ou explicitamente
y(x) = pmraizC - ln(x^2+4)

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