Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(l) f(x)=e^xx.

Passo 1

A função é f(x)=e^xx. O conteúdo envolve derivadas para achar monotonicidade e extremos, derivada segunda para concavidade e inflexão, e limites para assíntotas. Vamos precisar do domínio, f'(x), f''(x) e análise de limites em xto0^pm,,pminfty.

Passo 2

Primeiro, o domínio de f é ( -infty,0)cup(0,infty). Calculemos a primeira derivada usando a regra do quociente:
f'(x)=e^xcdot x - e^xcdot1x^2=e^x(x-1)x^2

Passo 3

Para encontrar pontos críticos, igualamos f'(x)=0: só o numerador anula, pois e^x>0. Logo x-1=0 x=1. f' não existe em x=0 mas 0 não está no domínio.

Passo 4

Agora o sinal de f': como e^x>0 e x^2>0, o sinal vem de x-1. Então
  • Para x<1, x-1<0 f'<0.
  • Para x>1, x-1>0 f'>0.
    Assim, f decresce em ( -infty,0) e em (0,1), e cresce em (1,infty). Em x=1 a derivada troca de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local em (1,e).

Passo 5

Para concavidade, calculemos a segunda derivada. Partindo de f'(x)=e^x(x-1)x^2 e derivando de novo, chega-se a
f''(x)=e^xl(x^2-2x+2r)x^3
O trinômio x^2-2x+2 é sempre positivo (discriminante negativo), e e^x>0. Então o sinal de f'' vem de x^3:
  • Em x<0, x^3<0 f''<0 (côncavo para baixo).
  • Em x>0, x^3>0 f''>0 (côncavo para cima).
    Não há raiz de f'' na região do domínio, logo sem pontos de inflexão.

Passo 6

Vamos às assíntotas por limites.
– Em xto0^+, f(x)sim1/xto+infty.
– Em xto0^-, f(x)sim1/xto-infty.
Portanto, há assíntota vertical em x=0.
– Em xto-infty, e^xto0^+ e xto-infty f(x)to0^-. Então há assíntota horizontal y=0 à esquerda.
– Em xto+infty, f(x)to+infty mais rápido que qualquer reta, sem assíntota horizontal ou oblíqua à direita.

Passo 7

Juntando tudo, o gráfico tem dois ramos:
• Para x<0, a curva decresce, é côncava para baixo, vai de 0^- em xto-infty a -infty em xto0^-.
• Para x>0, a curva cai de +infty em xto0^+ até o ponto mínimo (1,e), depois cresce e é côncava para cima, indo a +infty em xto+infty.

Passo 8

Está pronto o esboço: assíntota vertical em x=0, horizontal y=0 à esquerda, ramo negativo à esquerda e ramo positivo com mínimo em (1,e) à direita.

Resposta

Pontos críticos: x=1 (mínimo local em f(1)=e). Sem máximos locais.
Monotonicidade: decresce em ( -infty,0) e em (0,1); cresce em (1,infty).
Concavidade: côncavo para baixo em ( -infty,0); côncavo para cima em (0,infty). Sem pontos de inflexão no domínio.
Assíntotas: vertical em x=0; horizontal y=0 para xto-infty.
Gráfico: dois ramos separados em x=0, ramo esquerdo negativo decrescente, ramo direito com mínimo em (1,e) e crescimento pós-min.

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