Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(l)
.
(l)
Passo 1
A função é
. O conteúdo envolve derivadas para achar monotonicidade e extremos, derivada segunda para concavidade e inflexão, e limites para assíntotas. Vamos precisar do domínio,
,
e análise de limites em
.
Passo 2
Primeiro, o domínio de
é
. Calculemos a primeira derivada usando a regra do quociente:
Passo 3
Para encontrar pontos críticos, igualamos
: só o numerador anula, pois
. Logo
dá
.
não existe em
mas 0 não está no domínio.
Passo 4
Agora o sinal de
: como
e
, o sinal vem de
. Então
- Para
, ⇒ . - Para
, ⇒ .
Assim,decresce em e em , e cresce em . Em a derivada troca de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local em .
Passo 5
Para concavidade, calculemos a segunda derivada. Partindo de
e derivando de novo, chega-se a
O trinômio
é sempre positivo (discriminante negativo), e
. Então o sinal de
vem de
:
- Em
, ⇒ (côncavo para baixo). - Em
, ⇒ (côncavo para cima).
Não há raiz dena região do domínio, logo sem pontos de inflexão.
Passo 6
Vamos às assíntotas por limites.
– Em ,
.
– Em ,
.
Portanto, há assíntota vertical em .
– Em ,
e
dá
. Então há assíntota horizontal
à esquerda.
– Em ,
mais rápido que qualquer reta, sem assíntota horizontal ou oblíqua à direita.
– Em
– Em
Portanto, há assíntota vertical em
– Em
– Em
Passo 7
Juntando tudo, o gráfico tem dois ramos:
• Para , a curva decresce, é côncava para baixo, vai de
em
a
em
.
• Para , a curva cai de
em
até o ponto mínimo
, depois cresce e é côncava para cima, indo a
em
.
• Para
• Para
Passo 8
Está pronto o esboço: assíntota vertical em
, horizontal
à esquerda, ramo negativo à esquerda e ramo positivo com mínimo em
à direita.
Resposta
Pontos críticos:
(mínimo local em
). Sem máximos locais.
Monotonicidade: decresce em e em
; cresce em
.
Concavidade: côncavo para baixo em ; côncavo para cima em
. Sem pontos de inflexão no domínio.
Assíntotas: vertical em ; horizontal
para
.
Gráfico: dois ramos separados em , ramo esquerdo negativo decrescente, ramo direito com mínimo em
e crescimento pós-min.
Monotonicidade: decresce em
Concavidade: côncavo para baixo em
Assíntotas: vertical em
Gráfico: dois ramos separados em