Em cada item abaixo, determine os valores c tais que f^prime(c)=f(b)-f(a)b-a.
(e) f(x)=1raizx, b>a>0.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x)=1raizx em [a,b] com 0. Pelo Teorema do Valor Médio, existe cin(a,b) tal que f'(c)=f(b)-f(a)b-a. Para encontrar c, vamos precisar da derivada de f e da expressão da taxa média de variação.

Passo 2

Cálculo da derivada: usando derivação de potência, escrevemos f(x)=x^-1/2. Então
f'(x)=-tfrac12x^-3/2=-12x^3/2

Passo 3

Cálculo da taxa média de variação:
f(b)-f(a)b-a=1/raizb-1/raizab-a

Passo 4

Simplificação do quociente: note que
1raizb-1raiza=a-braizab,(raiza+raizb),
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1/raizb-1/raizab-a=a-braizab,(raiza+raizb),(b-a)=-1raizab,(raiza+raizb)

Passo 5

Aplicação do Teorema do Valor Médio: fazemos
f'(c)=f(b)-f(a)b-a Longrightarrow -12c^3/2=-1raizab,(raiza+raizb)

Passo 6

Resolvendo para c: eliminamos o sinal negativo e invertemos:
12c^3/2=1raizab,(raiza+raizb) Longrightarrow 2c^3/2=raizab,(raiza+raizb)

Passo 7

Elevando à potência 2/3:
c=l(raizab,(raiza+raizb)2r)^!tfrac23

Resposta

c=l(raizab(raiza+raizb)2r)^2/3

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