Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(f) f(x)=3 xx+3.

Passo 1

O exercício pede para a gente estudar a função racional f(x)=3xx+3: identificar pontos críticos, máximos, mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e análise de limites para as assíntotas.

Passo 2

Primeiro a gente vê o domínio e as assíntotas. O denominador x+3 não pode ser zero, então x=-3 está excluído do domínio, criando uma assíntota vertical. Para a assíntota horizontal, calculamos limxtopminftyf(x)=limxtopminfty3xx+3=3, então há assíntota horizontal y=3.

Passo 3

Em seguida, derivamos para ver monotonia e pontos críticos. Calculamos
f'(x)=(3)(x+3)-3xcdot1(x+3)^2=9(x+3)^2

Passo 4

Como (x+3)^2>0 para todo xneq -3, temos f'(x)>0 em cada intervalo do domínio. Não há ponto onde f'(x)=0, e x=-3 não está no domínio, então não existem pontos críticos nem extremos locais. A função é crescente em (-infty,-3) e em (-3,infty).

Passo 5

Para a concavidade, a segunda derivada é
f''(x)=ddxl(9(x+3)^-2r)=-18(x+3)^-3=-18(x+3)^3

Passo 6

O sinal de f''(x) muda em x=-3 (fora do domínio). Se x<-3, então (x+3)^3<0 e f''(x)>0, logo concavidade para cima. Se x>-3, então (x+3)^3>0 e f''(x)<0, logo concavidade para baixo. Como a troca de concavidade ocorre em x=-3, mas esse ponto não pertence à função, não há ponto de inflexão no gráfico.

Passo 7

O gráfico mostra duas partes crescentes que se aproximam de x=-3 (vertical) e de y=3 (horizontal). Não há máximos, mínimos ou pontos críticos no domínio.

Resposta

Pontos críticos: não existem (nenhum f'(x)=0 e x=-3 não está no domínio).\nExtremos locais: não há máximos nem mínimos.\nIntervalos de crescimento: (-infty,-3) e (-3,infty).\nIntervalos de decrescimento: nenhum.\nConcavidade: côncava para cima em (-infty,-3), côncava para baixo em (-3,infty).\nPontos de inflexão: não há (troca em x=-3, mas x=-3 não pertence).\nAssíntotas: vertical x=-3, horizontal y=3.

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