Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(f)
.
(f)
Passo 1
O exercício pede para a gente estudar a função racional
: identificar pontos críticos, máximos, mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e análise de limites para as assíntotas.
Passo 2
Primeiro a gente vê o domínio e as assíntotas. O denominador
não pode ser zero, então
está excluído do domínio, criando uma assíntota vertical. Para a assíntota horizontal, calculamos
, então há assíntota horizontal
.
Passo 3
Em seguida, derivamos para ver monotonia e pontos críticos. Calculamos
Passo 4
Como
para todo
, temos
em cada intervalo do domínio. Não há ponto onde
, e
não está no domínio, então não existem pontos críticos nem extremos locais. A função é crescente em
e em
.
Passo 5
Para a concavidade, a segunda derivada é
Passo 6
O sinal de
muda em
(fora do domínio). Se
, então
e
, logo concavidade para cima. Se
, então
e
, logo concavidade para baixo. Como a troca de concavidade ocorre em
, mas esse ponto não pertence à função, não há ponto de inflexão no gráfico.
Passo 7
O gráfico mostra duas partes crescentes que se aproximam de
(vertical) e de
(horizontal). Não há máximos, mínimos ou pontos críticos no domínio.
Resposta
Pontos críticos: não existem (nenhum
e
não está no domínio).\nExtremos locais: não há máximos nem mínimos.\nIntervalos de crescimento:
e
.\nIntervalos de decrescimento: nenhum.\nConcavidade: côncava para cima em
, côncava para baixo em
.\nPontos de inflexão: não há (troca em
, mas
não pertence).\nAssíntotas: vertical
, horizontal
.