Resolva o
Qual o intervalo de validade da solucão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) para a equação diferencial dada:
Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais de primeira ordem e entender onde a solução é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a resolução. Temos:
Podemos dividir ambos os lados por
para isolar
:
Essa é uma equação diferencial linear da forma
, onde
.
Passo 3
Para resolver essa equação linear, vamos encontrar um fator integrante
que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. Assim:
Portanto, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com funções contínuas onde
, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para uma forma exata, onde o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Portanto,
, e a solução geral é:
Passo 6
Por fim, precisamos determinar o intervalo de validade da solução. Observamos que o denominador
deve ser real e diferente de zero:
Como a condição inicial é
, que está no intervalo
, nosso intervalo de validade é
.
Resposta
O intervalo de validade da solução é
.