Resolva o PVI^3
c (x^2-9) y^prime+x y=0 y(5)=y0
Qual o intervalo de validade da solucão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) para a equação diferencial dada:
c (x^2-9) y^prime+x y=0 y(5)=y0
Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais de primeira ordem e entender onde a solução é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a resolução. Temos:
(x^2-9) y^prime + x y = 0
Podemos dividir ambos os lados por (x^2 - 9) para isolar y':
y^prime + xx^2 - 9 y = 0
Essa é uma equação diferencial linear da forma y' + P(x) y = 0, onde P(x) = xx^2 - 9.

Passo 3

Para resolver essa equação linear, vamos encontrar um fator integrante mu(x) que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral xx^2 - 9 dx
Vamos calcular essa integral:
integral xx^2 - 9 dx
Fazendo a substituição u = x^2 - 9, então du = 2x dx, ou seja, du2 = x dx. Assim:
integral xx^2 - 9 dx = 12 integral 1u du = 12 ln |u| + C = 12 ln |x^2 - 9| + C
Portanto, o fator integrante é:
mu(x) = e^12 ln |x^2 - 9| = |x^2 - 9|^1/2 = raiz|x^2 - 9|
Como estamos trabalhando com funções contínuas onde x^2 - 9 > 0, podemos simplificar para:
mu(x) = raizx^2 - 9

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x):
raizx^2 - 9 cdot y^prime + xraizx^2 - 9 y = 0
Isso simplifica a equação para uma forma exata, onde o lado esquerdo é a derivada do produto mu(x) y:
ddx ( raizx^2 - 9 cdot y ) = 0
Integrando ambos os lados em relação a x:
raizx^2 - 9 cdot y = C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, resolvemos para y:
y = Craizx^2 - 9
Aplicamos a condição inicial y(5) = y0 para encontrar o valor de C:
y0 = Craiz5^2 - 9 Rightarrow y0 = Craiz25 - 9 = Craiz16 = C4
Portanto, C = 4 y0, e a solução geral é:
y = 4 y0raizx^2 - 9

Passo 6

Por fim, precisamos determinar o intervalo de validade da solução. Observamos que o denominador raizx^2 - 9 deve ser real e diferente de zero:
x^2 - 9 > 0 Rightarrow x^2 > 9 Rightarrow |x| > 3 Rightarrow x < -3 ou x > 3
Como a condição inicial é x = 5, que está no intervalo x > 3, nosso intervalo de validade é x > 3.

Resposta

O intervalo de validade da solução é x > 3.

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