Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(a) f(x)=x^3-6 x^2+9 x+1.

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função polinomial e precisamos descobrir vários coisa sobre ela: pontos críticos, máximos e mínimos, onde ela está crescendo ou descendo, a concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e também fazer o gráfico. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada primeira é zero ou onde a derivada não existe. Como nossa função é um polinômio, a derivada sempre existe, então vamos igualar a derivada a zero.
A derivada de f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 é:
3x^2 - 12x + 9 = 0
Agora, igualamos a zero:
x^2 - 4x + 3 = 0
Dividindo todos os termos por 3:
(x - 1)(x - 3) = 0
Fatorando:
Então, e são os pontos críticos.

Passo 3

Agora, vamos determinar quais desses pontos críticos são máximos ou mínimos. Para isso, usamos a derivada segunda.
A derivada segunda de f''(x) = 6x - 12 é:
f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0
Vamos avaliar a derivada segunda em cada ponto crítico:
Para f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0 :
Como , é um ponto de máximo.
Para :
Como , é um ponto de mínimo.

Passo 4

Vamos agora descobrir as regiões de crescimento e decrescimento da função.
  • A função está crescendo onde f'(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3 > 0 Rightarrow Crescendo .
  • A função está decrescendo onde f'(2) = 4 - 8 + 3 = -1 < 0 Rightarrow Decrescendo .
Sabemos que f'(4) = 16 - 16 + 3 = 3 > 0 Rightarrow Crescendo e que os pontos críticos são e .
Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
  1. Para , por exemplo :
  1. Para , por exemplo :
  1. Para , por exemplo :

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar possíveis pontos de inflexão.
A concavidade é determinada pela derivada segunda f''(x) = 6x - 12 :
  • Se 6x - 12 = 0 Rightarrow x = 2 , a função é côncava para cima.
  • Se f''(1) = -6 < 0 Rightarrow Côncava para baixo , a função é côncava para baixo.
E um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde f''(3) = 6 > 0 Rightarrow Côncava para cima .
Temos:
Igualando a zero:
Então, é um ponto de inflexão.
Vamos verificar a concavidade nos intervalos:
  1. Para , por exemplo :
ô
  1. Para , por exemplo :
ô

Passo 6

Vamos verificar as assíntotas da função.
Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Elas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
Como a nossa função é um polinômio de grau 3, ela é definida para todos os reais e não tem assíntotas verticais.
Para assíntotas horizontais ou oblíquas, analisamos o comportamento quando vai para infinito ou menos infinito.
Para polinômios:
  • Se o grau do numerador for maior do que o denominador, há uma assíntota oblíqua.
  • Mas no nosso caso, o denominador é 1 (implícito) e o grau do numerador é 3, então a função tende a ou , mas isso não configura uma assíntota oblíqua específica.
Portanto, não há assíntotas para essa função.

Passo 7

Por fim, vamos construir o gráfico da função com base nas informações que obtivemos:
  • Pontos críticos:
    • Máximo em :
    • Mínimo em :
  • Regiões de crescimento:
    • e
  • Regiões de decrescimento:
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo em
    • Côncava para cima em
  • Ponto de inflexão:
    • Em :
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico, identificando os pontos mencionados, as regiões onde a função está subindo ou descendo, e onde a concavidade muda.

Resposta

A função possui:
  • Pontos críticos:
    • Máximo em com
    • Mínimo em com
  • Regiões de crescimento:
    • Cresce quando e
  • Regiões de decrescimento:
    • Decresce quando
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo em
    • Côncava para cima em
  • Ponto de inflexão:
    • Em com
  • Assíntotas:
    • Não existem assíntotas para esta função.
O gráfico da função apresenta um ponto de máximo em , um ponto de mínimo em , um ponto de inflexão em , e não possui assíntotas.

Exercícios relacionados