Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função polinomial
e precisamos descobrir vários coisa sobre ela: pontos críticos, máximos e mínimos, onde ela está crescendo ou descendo, a concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e também fazer o gráfico. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada primeira é zero ou onde a derivada não existe. Como nossa função é um polinômio, a derivada sempre existe, então vamos igualar a derivada a zero.
A derivada de
é:
Agora, igualamos a zero:
Dividindo todos os termos por 3:
Fatorando:
Então,
e
são os pontos críticos.
Passo 3
Agora, vamos determinar quais desses pontos críticos são máximos ou mínimos. Para isso, usamos a derivada segunda.
A derivada segunda de
é:
Vamos avaliar a derivada segunda em cada ponto crítico:
Para
:
Como
,
é um ponto de máximo.
Para
:
Como
,
é um ponto de mínimo.
Passo 4
Vamos agora descobrir as regiões de crescimento e decrescimento da função.
- A função está crescendo onde
. - A função está decrescendo onde
.
Sabemos que
e que os pontos críticos são
e
.
Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar possíveis pontos de inflexão.
A concavidade é determinada pela derivada segunda
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
E um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde
.
Temos:
Igualando a zero:
Então,
é um ponto de inflexão.
Vamos verificar a concavidade nos intervalos:
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
Passo 6
Vamos verificar as assíntotas da função.
Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Elas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
Como a nossa função
é um polinômio de grau 3, ela é definida para todos os reais e não tem assíntotas verticais.
Para assíntotas horizontais ou oblíquas, analisamos o comportamento quando
vai para infinito ou menos infinito.
Para polinômios:
- Se o grau do numerador for maior do que o denominador, há uma assíntota oblíqua.
- Mas no nosso caso, o denominador é 1 (implícito) e o grau do numerador é 3, então a função tende a
ou , mas isso não configura uma assíntota oblíqua específica.
Portanto, não há assíntotas para essa função.
Passo 7
Por fim, vamos construir o gráfico da função com base nas informações que obtivemos:
-
Pontos críticos:
- Máximo em
: - Mínimo em
:
- Máximo em
-
Regiões de crescimento:
-
e
-
-
Regiões de decrescimento:
-
-
Concavidade:
- Côncava para baixo em
- Côncava para cima em
- Côncava para baixo em
-
Ponto de inflexão:
- Em
:
- Em
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico, identificando os pontos mencionados, as regiões onde a função está subindo ou descendo, e onde a concavidade muda.
Resposta
A função
possui:
-
Pontos críticos:
- Máximo em
com - Mínimo em
com
- Máximo em
-
Regiões de crescimento:
- Cresce quando
e
- Cresce quando
-
Regiões de decrescimento:
- Decresce quando
- Decresce quando
-
Concavidade:
- Côncava para baixo em
- Côncava para cima em
- Côncava para baixo em
-
Ponto de inflexão:
- Em
com
- Em
-
Assíntotas:
- Não existem assíntotas para esta função.
O gráfico da função apresenta um ponto de máximo em
, um ponto de mínimo em
, um ponto de inflexão em
, e não possui assíntotas.