Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(i)
.
(i)
Passo 1
O enunciado pede para a gente estudar a função
. O conteúdo envolve derivadas para achar extremos e monotonicidade, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, identificação de assíntotas e depois esboço do gráfico.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada. Usamos que a derivada de
é 1 e de
é
. Assim temos
Passo 3
Para achar pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Passo 4
Agora analisamos o sinal de
. Como
para todo
, segue que
em toda a reta e só é zero nos pontos acima. Ou seja,
é monotonamente crescente e não há troca de sinal de
, então não existem máximos nem mínimos locais de verdade.
Passo 5
Para concavidade, calculamos a segunda derivada. Derivando
obtemos
Passo 6
Determinamos onde
para achar pontos de inflexão:
Passo 7
Agora o sinal de
:
- Se
(isto é, ) então : concavidade voltada para baixo. - Se
(isto é, ) então : concavidade voltada para cima.
Passo 8
Para assíntotas, analisamos o comportamento para
. Note que
oscila entre
Passo 9
No esboço do gráfico, a curva cresce de modo quase linear (com inclinação média 1) mas apresenta ondulações de amplitude 1 devidas ao
. Ela toca pontos de inclinação zero em
e muda a concavidade em
.
Resposta
Pontos críticos:
,
.
Monotonicidade: cresce em todo , pois
.
Extremos locais: nenhum máximo nem mínimo (não há troca de sinal de ).
Concavidade:
Monotonicidade: cresce em todo
Extremos locais: nenhum máximo nem mínimo (não há troca de sinal de
Concavidade:
- côncava para baixo em
. - côncava para cima em
.
Pontos de inflexão:, .
Assíntotas: não há.
Gráfico: reta com inclinação média 1 ondulada por, tocando tangentes horizontais e alternando concavidade nos pontos dados acima.