Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(i) f(x)=x+cos x.

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar a função . O conteúdo envolve derivadas para achar extremos e monotonicidade, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, identificação de assíntotas e depois esboço do gráfico.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada. Usamos que a derivada de x é 1 e de cos x é -sin x. Assim temos
f'(x)=1-sin x

Passo 3

Para achar pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
1-sin x=0implies sin x=1implies x=pi2+2pi k, kinZ

Passo 4

Agora analisamos o sinal de f'(x)=1-sin x. Como sin x<=1 para todo x, segue que f'(x)>=0 em toda a reta e só é zero nos pontos acima. Ou seja, f é monotonamente crescente e não há troca de sinal de f', então não existem máximos nem mínimos locais de verdade.

Passo 5

Para concavidade, calculamos a segunda derivada. Derivando f'(x)=1-sin x obtemos
f''(x)=-cos x

Passo 6

Determinamos onde f''(x)=0 para achar pontos de inflexão:
-cos x=0implies cos x=0implies x=pi2+pi k, kinZ

Passo 7

Agora o sinal de f''(x)=-cos x:
  • Se cos x>0 (isto é, xin(-tfracpi2+2pi k,tfracpi2+2pi k)) então f''(x)<0: concavidade voltada para baixo.
  • Se cos x<0 (isto é, xin(tfracpi2+2pi k,tfrac3pi2+2pi k)) então f''(x)>0: concavidade voltada para cima.

Passo 8

Para assíntotas, analisamos o comportamento para xtopminfty. Note que
f(x)-x=cos x
oscila entre -1,1) em vez de tender a um valor fixo. Logo não há assíntota horizontal nem oblíqua.

Passo 9

No esboço do gráfico, a curva cresce de modo quase linear (com inclinação média 1) mas apresenta ondulações de amplitude 1 devidas ao cos x. Ela toca pontos de inclinação zero em x=tfracpi2+2pi k e muda a concavidade em x=tfracpi2+pi k.

Resposta

Pontos críticos: x=tfracpi2+2pi k, kinZ.
Monotonicidade: cresce em todo R, pois f'(x)=1-sin x>=0.
Extremos locais: nenhum máximo nem mínimo (não há troca de sinal de f').
Concavidade:
  • côncava para baixo em xin(-tfracpi2+2pi k,tfracpi2+2pi k).
  • côncava para cima em xin(tfracpi2+2pi k,tfrac3pi2+2pi k).
    Pontos de inflexão: x=tfracpi2+pi k, kinZ.
    Assíntotas: não há.
    Gráfico: reta com inclinação média 1 ondulada por cos x, tocando tangentes horizontais e alternando concavidade nos pontos dados acima.

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