Considere a seguinte equação diferencial e^x^3+sen(y)+(x3 cos (y)) y^prime=0.
Encontre um fator integrante F=F(x) para torná-la exata.

Passo 1

A equação dada é
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
onde
M(x,y)=e^x^3+sin(y), N(x,y)=x3cos(y)
Queremos um fator integrante F=F(x) tal que F(x)M,dx+F(x)N,dy seja exata.

Passo 2

Para um fator integrante que depende só de x, usamos a condição
F'(x)F(x)=partial M/partial y - partial N/partial xN

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y=cos(y), partial Npartial x=13cos(y)
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partial M/partial y - partial N/partial xN =cos(y)-tfrac13cos(y)tfracx3cos(y) =tfrac23cos(y)tfracx3cos(y) =2x

Passo 4

Integrando
F'F=2x implies ln|F|=2ln|x|+C implies F(x)=C,x^2
Podemos escolher o fator integrante sem a constante arbitrária, ou seja, F(x)=x^2.

Resposta

F(x)=x^2

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