Utilize as regras de L(f) lim x +infty ln (3 x+e^x)x.

Passo 1

Resumo do enunciado: Estamos calculando limxto+infty ln(3x+e^x)x. O conteúdo é cálculo de limite e vamos precisar reconhecer indeterminação do tipo infty/infty e aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Verificamos que o numerador ln(3x+e^x) e o denominador x tendem ambos a +infty, gerando uma forma indeterminada tfracinftyinfty. Por isso, podemos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador. A derivada de ln(3x+e^x) usa que (ln u)'=u'/u, com u=3x+e^x e u'=3+e^x. Então
ddxln(3x+e^x)=3+e^x3x+e^x, e a derivada de x é 1. Logo o limite vira
limxto+infty3+e^x3x+e^x

Passo 4

Para esse novo limite, note que e^x cresce muito mais rápido que 3x. Fatorando e^x em cima e embaixo:
3+e^x3x+e^x=e^x(1+3e^-x)e^x(1+3x e^-x)=1+3e^-x1+3x e^-x

Passo 5

Como e^-xto0 quando xto+infty, fica tfrac1+01+0=1.

Resposta

1

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