- Para cada função
, determine a derivada
no ponto
indicado:
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a derivada de várias funções
em pontos específicos
. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais precisamente de derivadas. Para resolver, vamos precisar entender o que é derivada e como calculá-la para funções polinomiais e racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto. Em termos simples, ela nos diz quão rápido a função está mudando naquele ponto.
Passo 3
Vamos começar a calcular as derivadas para cada função e ponto indicados. Vamos usar as regras básicas de derivação para funções polinomiais e racionais.
Passo 4
a)
no ponto
Para derivar
, usamos a regra de potência: a derivada de
é
.
Então,
Agora, calculamos em
:
Passo 5
b)
no ponto
Aqui, a derivada de
é derivada termo a termo:
- Derivada de
é 2. - Derivada de constante 3 é 0.
Então,
Independente do valor de
, a derivada é 2.
Portanto,
Passo 6
c)
no ponto
Derivando
:
- Derivada de
é -3.
Então,
Logo,
Passo 7
d)
no ponto
Derivando cada termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é -3.
Então,
Agora, em
:
Passo 8
e)
no ponto
Derivando:
- Derivada de
é . - Derivada de constante -4 é 0.
Então,
Em
:
Passo 9
f)
no ponto
Primeiro, reescrevemos
como
.
Derivando
usando a regra de potência:
Agora, em
:
Passo 10
g)
no ponto
Já derivamos
como:
Então, em
:
Passo 11
h)
no ponto
Derivando termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é -3. - Derivada de constante 4 é 0.
Então,
Em
:
Resposta
As derivadas das funções nos pontos indicados são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)