1. Para cada função f(x), determine a derivada f^prime(x0) no ponto x0 indicado:
    a) f(x)=x^2
    x0=4
    e) f(x)=x^2-4
    x0=0
    b) f(x)=2 x+3
    x0=3
    f) f(x)=1x
    x0=2
    c) f(x)=-3 x
    x0=1
    g) f(x)=1x
    x0=5
    d) f(x)=x^2-3 x
    x0=2
    h) f(x)=x^2-3 x+4
    x0=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a derivada de várias funções em pontos específicos . Isso faz parte do estudo de cálculo, mais precisamente de derivadas. Para resolver, vamos precisar entender o que é derivada e como calculá-la para funções polinomiais e racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto. Em termos simples, ela nos diz quão rápido a função está mudando naquele ponto.

Passo 3

Vamos começar a calcular as derivadas para cada função e ponto indicados. Vamos usar as regras básicas de derivação para funções polinomiais e racionais.

Passo 4

a) f'(x) = 2x no ponto f'(4) = 2 cdot 4 = 8
Para derivar , usamos a regra de potência: a derivada de é .
Então,
Agora, calculamos em :

Passo 5

b) f'(x) = 2 no ponto f'(3) = 2
Aqui, a derivada de é derivada termo a termo:
  • Derivada de é 2.
  • Derivada de constante 3 é 0.
Então,
Independente do valor de , a derivada é 2.
Portanto,

Passo 6

c) f'(x) = -3 no ponto f'(1) = -3
Derivando :
  • Derivada de é -3.
Então,
Logo,

Passo 7

d) f'(x) = 2x - 3 no ponto f'(2) = 2 cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1
Derivando cada termo:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é -3.
Então,
Agora, em :

Passo 8

e) f'(x) = 2x no ponto f'(0) = 2 cdot 0 = 0
Derivando:
  • Derivada de é .
  • Derivada de constante -4 é 0.
Então,
Em :

Passo 9

f) f'(x) = -x^-2 = -1x^2 no ponto f'(2) = -12^2 = -14
Primeiro, reescrevemos como .
Derivando usando a regra de potência:
Agora, em :

Passo 10

g) f'(x) = -1x^2 no ponto f'(5) = -15^2 = -125
Já derivamos como:
Então, em :

Passo 11

h) f'(x) = 2x - 3 no ponto f'(6) = 2 cdot 6 - 3 = 12 - 3 = 9
Derivando termo a termo:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é -3.
  • Derivada de constante 4 é 0.
Então,
Em :

Resposta

As derivadas das funções nos pontos indicados são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

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