Para cada função f(x), determine a derivada f^prime(x) no ponto x0 indicado:
f(x)=5 x^2+3 x-9x^2+5 para x0=5

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função racional
f(x)=5x^2+3x-9x^2+5
no ponto x0=5. Para isso vamos usar a regra do quociente, que é a ferramenta para derivar funções da forma u(x)/v(x).

Passo 2

Seja
u(x)=5x^2+3x-9 e v(x)=x^2+5
Então a regra do quociente diz que
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de u e v:
u'(x)=ddx(5x^2+3x-9)=10x+3,
v'(x)=ddx(x^2+5)=2x
Substituindo na regra do quociente:
f'(x) =(10x+3)(x^2+5)-(5x^2+3x-9),(2x)(x^2+5)^2

Passo 4

Agora avaliamos em x=5. Primeiro o numerador:
(10cdot5+3)(5^2+5)-(5cdot5^2+3cdot5-9),(2cdot5) =53cdot30-131cdot10 =1590-1310 =280
O denominador é
(5^2+5)^2=(25+5)^2=30^2=900
Logo
f'(5)=280900

Passo 5

Basta simplificar a fração tfrac280900. Dividindo numerador e denominador por 20 obtemos
280900=1445

Resposta

f'(5)=1445

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