Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo aqui é cálculo diferencial: vamos usar domínio, regras de derivada (quociente), sinais de
para monotonicidade, classificação de extremos, regra da segunda derivada para concavidade e inflexões, e comportamento assintótico para o esboço.
Passo 2
O domínio é todo
, pois
sempre. Não há assíntotas verticais. Para
,
, logo há a assíntota horizontal
. O intercepto de
e de
acontece em
, dando o ponto
.
Passo 3
Para a monotonicidade, aplicamos regra do quociente: seja
e
. Temos
Passo 4
Da expressão de
, vemos que
em
. Como
para
e negativo para
, concluímos: h cresce em
e decresce em
e
.
Passo 5
Os candidatos a extremos são
. Calculando
e
, e observando o sinal de
, temos mínimo local em
e máximo local em
.
Passo 6
Para concavidade, derivamos de novo. Chega-se a
$$h’’(x)=\frac{2x(x2-3)}{(x2+1)^3}.
$$
Passo 7
Analisando o sinal de
, vemos mudança de concavidade em
: concava para baixo em
e
, e para cima em
e
. Os pontos de inflexão são
,
e
.
Passo 8
Com essas informações, esboçamos o gráfico: ele cruza a origem, desce até o mínimo em
, sobe atravessando a origem até o máximo em
, e depois decresce se aproximando de
com as concavidades e inflexões nos pontos encontrados.
Resposta
Interceptos:
. Assimptota horizontal:
. Crescimento em
; decrescimento em
e
. Máximo local em
; mínimo local em
. Concavidade para cima em
; para baixo em
. Pontos de inflexão em
,
e
. Gráfico conforme descrito.