Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
h(x)=xx^2+1

Passo 1

Temos a função h(x)=xx^2+1. O conteúdo aqui é cálculo diferencial: vamos usar domínio, regras de derivada (quociente), sinais de h' para monotonicidade, classificação de extremos, regra da segunda derivada para concavidade e inflexões, e comportamento assintótico para o esboço.

Passo 2

O domínio é todo R, pois x^2+1>0 sempre. Não há assíntotas verticais. Para xtopminfty, h(x)sim1/xto0, logo há a assíntota horizontal y=0. O intercepto de x e de y acontece em x=0, dando o ponto (0,0).

Passo 3

Para a monotonicidade, aplicamos regra do quociente: seja u=x e v=x^2+1. Temos
h'(x)=u'v-uv'v^2=(1)(x^2+1)-x(2x)(x^2+1)^2=1-x^2(x^2+1)^2

Passo 4

Da expressão de h', vemos que h'(x)=0 em x=pm1. Como 1-x^2>0 para |x|<1 e negativo para |x|>1, concluímos: h cresce em (-1,1) e decresce em (1,infty) e .

Passo 5

Os candidatos a extremos são x=pm1. Calculando h(1)=1/2 e h(-1)=-1/2, e observando o sinal de h', temos mínimo local em (-1,-1/2) e máximo local em (1,1/2).

Passo 6

Para concavidade, derivamos de novo. Chega-se a
$$h’’(x)=\frac{2x(x2-3)}{(x2+1)^3}.
$$

Passo 7

Analisando o sinal de h'', vemos mudança de concavidade em x= -raiz3,,0,,raiz3: concava para baixo em (0,raiz3) e (-raiz3,0), e para cima em (raiz3,infty) e l(-raiz3,-tfracraiz34r). Os pontos de inflexão são (0,0), l(raiz3,tfracraiz34r) e .

Passo 8

Com essas informações, esboçamos o gráfico: ele cruza a origem, desce até o mínimo em (-1,-1/2), sobe atravessando a origem até o máximo em (1,1/2), e depois decresce se aproximando de y=0 com as concavidades e inflexões nos pontos encontrados.

Resposta

Interceptos: (0,0). Assimptota horizontal: y=0. Crescimento em (-1,1); decrescimento em (1,infty) e l(1,tfrac12r). Máximo local em l(-1,-tfrac12r); mínimo local em (-raiz3,0)cup(raiz3,infty). Concavidade para cima em l(-raiz3,-tfracraiz34r); para baixo em (0,0). Pontos de inflexão em l(raiz3,tfracraiz34r), e . Gráfico conforme descrito.

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