Calcule os seguintes limites:
lim x +infty 2 x^3+3x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
– Conteúdo: limite de função racional quando x tende a +∞.
– Vamos usar comparação de graus e, para maior rigor, fatorar ou dividir termos pelo maior grau do denominador.

Passo 2

Em limites de funções racionais, se o grau do numerador for maior que o grau do denominador, o valor absoluto da função tende a +∞. Aqui o grau do numerador é 3 e o do denominador é 2, ou seja, 3 > 2, então já sabemos de antemão que o limite vai divergir para ±∞. Só falta verificar o sinal.

Passo 3

Para ver o comportamento exato, dividimos cada termo de numerador e denominador por x² (o maior grau do denominador):
2x^3+3x^2+1 = x^2l(2x + tfrac3x^2r)x^2l(1 + tfrac1x^2r) = 2x + tfrac3x^21 + tfrac1x^2
Agora analisamos cada termo quando x→+∞: 3/x^2 e 1/x^2 vão a zero. Assim a expressão fica próxima de 2x/1 = 2x. Como x→+∞, temos 2x→+∞, e todos os termos eram positivos para x grande, então o limite é +∞.

Resposta

+infty

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