Sabendo-se que
lim x +infty(1+1x)^x=e
e que
lim x -infty(1+1x)^x=e
calcule o valor do limite abaixo:
lim x 0(1+2 x)^1x
2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x 0(1+2 x)^1x
Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre limites exponenciais. Precisamos entender como manipular expressões que envolvem potências com variáveis no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos limites:
limx 0 (1 + a x)^1x = e^a
Onde $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828. Essa propriedade nos diz que quando temos uma expressão da forma $ (1 + a x)^{\frac{1}{x}} $ e $ x $ tende a 0, o limite é $ e $ elevado a $ a $.

Passo 3

No nosso caso, comparando com a propriedade acima, vemos que $ a = 2 $. Ou seja, temos:
a = 2

Resposta

O valor do limite é $ e^{2} $.

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