Para cada função, esboce algumas curvas de nível.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos algumas curvas de nível da função $ f(x, y) = -\frac{1}{x^{2} + y^{2}} $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve curvas de nível e funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos entender o que são curvas de nível e como encontrá-las a partir da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função $ f(x, y) $ assume o mesmo valor constante, digamos $ c $. Ou seja, para uma constante $ c $, temos:
Aplicando isso à nossa função:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre $ x $ e $ y $. Multiplicando ambos os lados por $ x^{2} + y^{2} $ (e lembrando que $ c \neq 0 $):
Agora, isolamos $ x^{2} + y^{2} $:
Passo 4
Observamos que a equação $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $ representa um círculo com raio $ r $ centrado na origem. Comparando com a nossa equação, temos:
Para que $ r^{2} $ seja positivo, o lado direito da equação deve ser positivo. Portanto, $ -\frac{1}{c} > 0 $, o que implica que $ c < 0 $.
Passo 5
Isso significa que somente valores positivos de $ r $ (raio dos círculos) são possíveis quando $ c $ é negativo. Assim, para cada valor negativo de $ c $, teremos um círculo de raio $ r = \sqrt{-\frac{1}{c}} $ centrado na origem.
Resposta
As curvas de nível da função $ f(x, y) = -\frac{1}{x^{2} + y^{2}} $ são círculos centrados na origem com raio $ r = \sqrt{-\frac{1}{c}} $, onde $ c $ é uma constante negativa. Ou seja, para cada valor negativo de $ c $, desenhamos um círculo ao redor do ponto
com o respectivo raio.