QUESTÃO 2 (1 PONTO):
Use os axiomas e/ou propriedades dos números reais para justificar a seguinte afirmação: Para qualquer a, b in R tem-se
|a|-|b| <=|a-b|

Passo 1

O exercício pede para provar que, para quaisquer números reais a e b, vale a desigualdade |a|-|b|<=|a-b|. Vamos usar propriedades do valor absoluto para chegar lá.

Passo 2

Uma das propriedades mais importantes do valor absoluto é a desigualdade triangular. Ela diz que, para quaisquer reais x e y, temos
|x+y|<=|x|+|y|
Essa propriedade vem diretamente dos axiomas que definem o valor absoluto.

Passo 3

Para conectar com o nosso problema, observe que podemos escrever
a = (a-b) + b
Aplicando a desigualdade triangular em x = a-b e y = b, obtemos
|a| = |(a-b)+b| <= |a-b| + |b|

Passo 4

A partir de
|a| <= |a-b| + |b|,
podemos isolar o termo |a|-|b|. Basta subtrair |b| dos dois lados da desigualdade:
|a| - |b| <= |a-b|

Passo 5

Chegamos exatamente à desigualdade desejada:
|a| - |b| <= |a-b|
Isso completa a prova usando apenas a desigualdade triangular e propriedades básicas do valor absoluto.

Resposta

A desigualdade |a|-|b|<=|a-b| segue diretamente da desigualdade triangular aplicada a a=(a-b)+b, subtraindo |b| em ambos os lados.

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