QUESTÃO 2 (1 PONTO):
Use os axiomas e/ou propriedades dos números reais para justificar a seguinte afirmação: Para qualquer
tem-se
Use os axiomas e/ou propriedades dos números reais para justificar a seguinte afirmação: Para qualquer
Passo 1
O exercício pede para provar que, para quaisquer números reais
e
, vale a desigualdade
. Vamos usar propriedades do valor absoluto para chegar lá.
Passo 2
Uma das propriedades mais importantes do valor absoluto é a desigualdade triangular. Ela diz que, para quaisquer reais
e
, temos
Essa propriedade vem diretamente dos axiomas que definem o valor absoluto.
Passo 3
Para conectar com o nosso problema, observe que podemos escrever
Aplicando a desigualdade triangular em
e
, obtemos
Passo 4
A partir de
podemos isolar o termo
. Basta subtrair
dos dois lados da desigualdade:
Passo 5
Chegamos exatamente à desigualdade desejada:
Isso completa a prova usando apenas a desigualdade triangular e propriedades básicas do valor absoluto.
Resposta
A desigualdade
segue diretamente da desigualdade triangular aplicada a
, subtraindo
em ambos os lados.