QUESTÃO 1 (1 PONTO): Justifique a seguinte propriedade usando os axiomas dos números reais: Para qualquer a in R tem-se:
-a=(-1) cdot a

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o inverso aditivo de qualquer real a, isto é -a, coincide com o produto (-1)cdot a. O conteúdo envolve propriedades de elemento neutro, inverso aditivo e a distributividade.

Passo 2

Pela definição de -1 como o inverso aditivo de 1, sabemos que 1 + (-1) = 0.
Usando a propriedade do elemento neutro multiplicativo, temos 1 cdot a = a.

Passo 3

Para mostrar que (-1)cdot a é de fato o inverso aditivo de a, calculamos a soma:
a + ((-1)cdot a) = (1cdot a) + ((-1)cdot a)
Aplicando a distributividade de soma sobre produto, obtemos:
(1 + (-1))cdot a = 0cdot a
Como 1 + (-1) = 0, fica 0cdot a.
Pela propriedade do elemento neutro aditivo na multiplicação, 0cdot a = 0. Então
a + ((-1)cdot a) = 0
Isto mostra que (-1)cdot a é um elemento que somado a a dá zero, ou seja, é o inverso aditivo de a.

Passo 4

Pela unicidade do inverso aditivo em R, concluímos que
(-1)cdot a = -a

Resposta

(-1)\cdot a = -a

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