Determine o domínio da função abaixo. Esboce a região encontrada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função $ f(x, y) = \ln\left(4 - \sqrt{x^{2} + y^{2}}\right) $ e desenhar a região que representa esse domínio. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas e radicais. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ e $ y $ para os quais a função está definida. No caso, temos uma função logarítmica $ \ln(u) $. O legal do logaritmo é que o que está dentro dele, o argumento $ u $, tem que ser maior que zero. Ou seja, $ u > 0 $.
Passo 3
No nosso caso, o argumento do logaritmo é $ 4 - \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Então, para a função estar definida, precisamos que:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar quais valores de $ x $ e $ y $ satisfazem essa condição. Primeiro, isolamos a raiz:
Passo 5
Agora, para eliminar a raiz, vamos elevar os dois lados ao quadrado (lembrando que, como ambos são positivos, a desigualdade se mantém):
Passo 6
A expressão $ x^{2} + y^{2} = 16 $ representa um círculo de raio 4 centrado na origem (0,0). A desigualdade $ 16 > x^{2} + y^{2} $ significa que estamos falando dos pontos dentro desse círculo, mas não incluímos a fronteira, porque $ 16 = x^{2} + y^{2} $ não satisfaz a condição $ 4 - \sqrt{x^{2} + y^{2}} > 0 $.
Passo 7
Então, resumindo, o domínio da função $ f(x, y) $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ que estão dentro do círculo de raio 4, excluindo a própria fronteira.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \ln\left(4 - \sqrt{x^{2} + y^{2}}\right) $ são todos os pontos $ (x, y) $ tais que $ x^{2} + y^{2} < 16 $. Graficamente, isso corresponde à região dentro do círculo de raio 4 centrado na origem.