Cada função f dada abaixo é suposta 2 \pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 \pi, 2 \pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x= \pm \pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(d) f(x)=x^{2}, \quad-\pi<x<\pi

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)=x^2 definida em -\pi<x<\pi e estendida por periodicidade 2\pi. Precisamos: esboçar o gráfico em [-2\pi,2\pi], calcular os limites laterais em x=0 e x=\pm\pi, e obter a série de Fourier. Usaremos a noção de extensão periódica, propriedades de funções pares e fórmulas dos coeficientes de Fourier.

Passo 2

Em -\pi<x<\pi, f(x)=x^2 é a parábola convencional centrada em 0. Como a extensão tem período 2\pi, esse arco de parábola se repete a cada 2\pi. Logo, no intervalo [-2\pi,2\pi] temos duas cópias: de -2\pi a -\pi a cópia de [\!-\pi,0], de -\pi a \pi a parábola original, e de \pi a 2\pi a cópia de [0,\pi]. Os vértices estão em múltiplos de 2\pi e há “dobras” nos pontos de junção, mas como f(-\pi)=f(\pi)=\pi^2, a função é contínua nesses pontos.

Passo 3

Calculamos os limites laterais onde pode haver descontinuidade periódica: \lim_{x\to0^-}f(x)=0^2=0 e \lim_{x\to0^+}f(x)=0^2=0, logo é contínua em 0.
Para x=\pi: do lado esquerdo f(\pi^-)=\pi^2 e do lado direito, aproximando-se de \pi vindo de \pi< x<2\pi, temos a cópia de f(x)=x^2 em -\pi<x<\pi por periodicidade, isto é f(\pi^+)=(-\pi)^2=\pi^2. O mesmo vale em -\pi. Logo os limites em \pm\pi valem \pi^2 e a função é contínua ali.

Passo 4

Para obter a série de Fourier usamos que f é par, logo só aparecem termos em cosseno. Os coeficientes são
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\,dx =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^3}{3} =\frac{2\pi^2}{3},
portanto o termo constante é a_0/2=\pi^2/3. Para n\ge1,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando tabela), chega-se a
a_n =4\frac{(-1)^n}{n^2},
e como f é par, todos os b_n são zero.

Passo 5

Montando a série de Fourier temos
f(x)=x^2 =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx) =\frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=0, \displaystyle \lim_{x\to\pi^-}f(x)=\lim_{x\to(-\pi)^+}f(x)=\pi^2. A série de Fourier periódica de f(x)=x^2 é
x^2 =\frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).

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