Cada função
dada abaixo é suposta
-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo
, calcule seus limites laterais nos pontos
e
e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para a função
definida em
e estendida por periodicidade
. Precisamos: esboçar o gráfico em
, calcular os limites laterais em
e
, e obter a série de Fourier. Usaremos a noção de extensão periódica, propriedades de funções pares e fórmulas dos coeficientes de Fourier.
Passo 2
Em
,
é a parábola convencional centrada em
. Como a extensão tem período
, esse arco de parábola se repete a cada
. Logo, no intervalo
temos duas cópias: de
a
a cópia de
, de
a
a parábola original, e de
a
a cópia de
. Os vértices estão em múltiplos de
e há “dobras” nos pontos de junção, mas como
, a função é contínua nesses pontos.
Passo 3
Calculamos os limites laterais onde pode haver descontinuidade periódica:
e
, logo é contínua em
.
Para : do lado esquerdo
e do lado direito, aproximando-se de
vindo de
, temos a cópia de
em
por periodicidade, isto é
. O mesmo vale em
. Logo os limites em
valem
e a função é contínua ali.
Para
Passo 4
Para obter a série de Fourier usamos que
é par, logo só aparecem termos em cosseno. Os coeficientes são
portanto o termo constante é
. Para
,
Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando tabela), chega-se a
e como
é par, todos os
são zero.
Passo 5
Montando a série de Fourier temos