Cada função f dada abaixo é suposta 2 \pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 \pi, 2 \pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x= \pm \pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(e) f(x)=x, 0 \leq x \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado define uma função 2\pi-periódica dada por
f(x)=x,\quad 0\le x\le2\pi,
e pede:
– esboçar o gráfico em [-2\pi,2\pi];
– calcular \lim_{x\to0^\pm}f(x) e \lim_{x\to\pm\pi^\pm}f(x);
– encontrar a série de Fourier de f.
Vamos usar extensão periódica (sawtooth), análise de limites em descontinuidades periódicas e a fórmula dos coeficientes de Fourier em [0,2\pi].

Passo 2

Para esboçar o gráfico, note que em cada período [2k\pi,(2k+1)2\pi] a função cresce linearmente de 0 a 2\pi. Em x=2\pi há salto de 2\pi para 0, e o padrão se repete. No intervalo [-2\pi,2\pi] temos dois tramos completos:
– de -2\pi a 0, o gráfico é a reta y=x+2\pi subindo de 0 a 2\pi;
– de 0 a 2\pi, é a reta y=x subindo de 0 a 2\pi;
com saltos em -2\pi, 0 e 2\pi.

Passo 3

Na descontinuidade em x=0 os valores laterais são dados pela extensão periódica:
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x=0, \qquad \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x+2\pi)=2\pi.
Nos pontos x=\pm\pi a função é contínua (são pontos internos de cada ramo), logo
\lim_{x\to\pi^-}f(x)=\lim_{x\to\pi^+}f(x)=\pi, \qquad \lim_{x\to(-\pi)^-}f(x)=\lim_{x\to(-\pi)^+}f(x)=\pi.

Passo 4

Para a série de Fourier em [0,2\pi] calculamos
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[\frac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{2\pi} =2\pi,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x\cos(nx)\,dx=0 \quad(\text{por partes e avaliação em }0,2\pi),çã
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x\sin(nx)\,dx =-\frac{2}{n}.

Passo 5

Substituindo em
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr)
obtemos
f(x)=\pi-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\,\sin(nx).

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=0,\quad\lim_{x\to0^-}f(x)=2\pi. \displaystyle\lim_{x\to\pi^\pm}f(x)=\pi,\quad\lim_{x\to(-\pi)^\pm}f(x)=\pi.
\boxed{f(x)=\pi-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin(nx).}

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