Cada função
dada abaixo é suposta
-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo
, calcule seus limites laterais nos pontos
e
e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado define uma função
-periódica dada por
e pede:
– esboçar o gráfico em ;
– calcular e
;
– encontrar a série de Fourier de .
Vamos usar extensão periódica (sawtooth), análise de limites em descontinuidades periódicas e a fórmula dos coeficientes de Fourier em .
– esboçar o gráfico em
– calcular
– encontrar a série de Fourier de
Vamos usar extensão periódica (sawtooth), análise de limites em descontinuidades periódicas e a fórmula dos coeficientes de Fourier em
Passo 2
Para esboçar o gráfico, note que em cada período
a função cresce linearmente de
a
. Em
há salto de
para
, e o padrão se repete. No intervalo
temos dois tramos completos:
– de a
, o gráfico é a reta
subindo de
a
;
– de a
, é a reta
subindo de
a
;
com saltos em ,
e
.
– de
– de
com saltos em
Passo 3
Na descontinuidade em
os valores laterais são dados pela extensão periódica:
Nos pontos
a função é contínua (são pontos internos de cada ramo), logo
Passo 4
Para a série de Fourier em
calculamos
Passo 5
Substituindo em
obtemos