Cada função f dada abaixo é suposta 2 \pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 \pi, 2 \pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x= \pm \pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(g) f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}, \quad-\pi<x<0 \\\ x^{2}, \quad 0<x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f\) de período \(2\pi\) definida em \(-\pi<x<\pi\) por \[f(x)= \begin{cases} -x^2, & -\pi<x<0,\\\ \;x^2, & 0<x<\pi, \end{cases}
e pede: esboçar o gráfico em [-2\pi,2\pi]\], calcular os limites laterais em \(x=0 e x=\pm\pi e encontrar a série de Fourier de f. Vamos usar conceitos de simetria (paridade) e as fórmulas usuais para coeficientes de Fourier em [-\,\pi,\pi].

Passo 2

Como f vale -x^2 no intervalo (-\pi,0) e +x^2 em (0,\pi), o gráfico em cada período é um “meio-parabola” negativa à esquerda de zero e positiva à direita, espelhando-se a cada comprimento 2\pi. Assim, de x=-2\pi a -\pi temos f(x)= (x+2\pi)^2 negativa em [-2\pi,-\pi], de -\pi a 0 é -x^2, de 0 a \pi é +x^2 e de \pi a 2\pi repete-se -((x-\!2\pi)^2). O resultado é uma sequência de “semiparabólicas” alternadamente positiva e negativa.

Passo 3

Calculemos os limites laterais nos pontos de descontinuidade periódica.
Para x=0:
f(0^-)=\lim_{x\to0^-}(-x^2)=0, \quad f(0^+)=\lim_{x\to0^+}(x^2)=0.
Logo, f é contínua em 0.
Para x=\pi:
f(\pi^-)=\lim_{x\to\pi^-}x^2=\pi^2, \quad f(\pi^+)=f(-\pi^+)=\lim_{u\to-\pi^+}(-u^2)=-\pi^2.
Há salto de \pi^2 para -\pi^2.
Para x=-\pi:
f(-\pi^-)=f(\pi^-)=\pi^2, \quad f(-\pi^+)=\lim_{x\to-\pi^+}(-x^2)=-\pi^2.
Também há salto de \pi^2 para -\pi^2.

Passo 4

Observamos que f(-x)=-f(x) em (-\pi,\pi), ou seja, f é ímpar. Nas séries de Fourier ímpares em [-\,\pi,\pi], só aparecem termos senoidais:
a_0=0,\quad a_n=0,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx.

Passo 5

Calculemos
I_n=\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx.
Integramos por partes com u=x^2, dv=\sin(nx)\,dx:
I_n =\Bigl[-\frac{x^2\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} +\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx =-\frac{\pi^2(-1)^n}{n} +\frac{2}{n}J_n.
Em seguida, para \displaystyle J_n=\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx,
integramos por partes u=x, dv=\cos(nx)\,dx, obtendo
J_n =\frac{(-1)^n-1}{n^2}.
Logo
I_n =-\frac{\pi^2(-1)^n}{n} +\frac{2}{n}\,\frac{(-1)^n-1}{n^2} =-\frac{\pi^2(-1)^n}{n}+\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^3}.
Portanto
b_n =\frac{2}{\pi}I_n =-\frac{2\pi(-1)^n}{n} +\frac{4\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}.

Passo 6

A série de Fourier de f é
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[-\frac{2\pi(-1)^n}{n} +\frac{4\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}\Bigr]\sin(nx).

Resposta

O gráfico de f em [-2\pi,2\pi] é uma repetição de semiparabólicas negativa em cada intervalo (2k-1)\pi,(2k)\pi e positiva em (2k)\pi,(2k+1)\pi.
Os limites laterais são \;f(0^-)=0,\;f(0^+)=0,\;f(\pm\pi^-)=\pi^2,\;f(\pm\pi^+)=-\pi^2.
A série de Fourier é
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[-\frac{2\pi(-1)^n}{n} +\frac{4\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}\Bigr]\sin(nx).

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