Para cada função f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} a seguir, determine os pontos z \in \mathbb{C} onde f é derivável e calcule f^{\prime}(z).
f(x+i y)=x\left(x^{2}-3 y^{2}\right)+i y\left(y^{2}-3 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos z\in\mathbb{C} onde f é derivável (no sentido complexo) e calcular f'(z) nesses pontos. A função é dada por
f(x+iy)=x\left(x^{2}-3y^{2}\right)+i\,y\left(y^{2}-3x^{2}\right).
As informações relevantes que já temos: z=x+iy com x,y\in\mathbb{R} e podemos separar f em parte real u(x,y) e parte imaginária v(x,y).

Passo 2

Primeiro, vou explicar a ferramenta que vamos usar (devagar e sem pulo): para uma função f=u+iv ter derivada complexa num ponto (x,y) é (em geral) equivalente a satisfazer as equações de Cauchy–Riemann naquele ponto, desde que as derivadas parciais de u e v sejam contínuas numa vizinhança do ponto. As equações de Cauchy–Riemann são:
u_x = v_y\qquad\text{e}\qquad u_y = -v_x,
onde u_x=\frac{\partial u}{\partial x}, u_y=\frac{\partial u}{\partial y}, v_x=\frac{\partial v}{\partial x} e v_y=\frac{\partial v}{\partial y}.
Se essas equações valem e as parciais são contínuas, então f é diferenciável e a derivada complexa é dada por
f'(z)=u_x+i\,v_x
avaliada no ponto.

Passo 3

Identificamos a parte real e imaginária:
u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}, \qquad v(x,y)=y^{3}-3x^{2}y.
Agora calculamos as derivadas parciais (faço passo a passo):
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}-3xy^{2})=3x^{2}-3y^{2},
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}-3xy^{2})=-6xy,
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(y^{3}-3x^{2}y)=-6xy,
v_y=\frac{\partial}{\partial y}(y^{3}-3x^{2}y)=3y^{2}-3x^{2}.

Passo 4

Aplicamos as equações de Cauchy–Riemann:
primeira equação u_x=v_y
3x^{2}-3y^{2}=3y^{2}-3x^{2}.
Isolando,
3x^{2}-3y^{2}-3y^{2}+3x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad 6x^{2}-6y^{2}=0,
ou seja
x^{2}=y^{2}\quad\text{(portanto }y=\pm x\text{).}
Segunda equação u_y=-v_x
-6xy = -(-6xy)=6xy,
ou seja
-6xy-6xy=0\quad\Rightarrow\quad -12xy=0\quad\Rightarrow\quad xy=0.
Agora resolvemos o sistema x^{2}=y^{2} e xy=0. Se xy=0 então ou x=0 ou y=0. Se x=0 então x^{2}=y^{2} implica 0=y^{2} então y=0. Se y=0 então x^{2}=0 então x=0. Portanto a única solução é
x=0,\;y=0,
isto é, z=0.

Passo 5

Observação sobre continuidade: as derivadas parciais que calculamos são funções polinomiais em x,y, portanto são contínuas em toda parte. Pelo teorema de Cauchy–Riemann, as condições que achamos são, então, necessárias e suficientes para diferenciabilidade. Concluímos que f é derivável apenas no ponto
z=0.

Passo 6

Agora calculamos a derivada em z=0. Podemos usar a fórmula f'(z)=u_x+i v_x avaliada em (0,0). Usando os valores:
u_x(0,0)=3\cdot0^{2}-3\cdot0^{2}=0,\qquad v_x(0,0)=-6\cdot0\cdot0=0,
portanto
f'(0)=0+i\cdot 0=0.
Para confirmar por limite (jeito direto): para h\to 0 temos
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\overline{h}^{\,3}}{h},
porque (uma observação útil) a própria função pode ser escrita como f(z)=(\overline{z})^{3} — mostro isso abaixo — e, em módulo,
\left|\frac{\overline{h}^{\,3}}{h}\right|=\frac{|h|^{3}}{|h|}=|h|^{2}\xrightarrow[h\to 0]{}0,
ou seja o quociente tende a 0, confirmando f'(0)=0.

Passo 7

Comentário útil para fixar a intuição: podemos reescrever f diretamente em termos de z e \overline{z}. Calculando (\overline{z})^{3} com \overline{z}=x-iy obtemos exatamente
(\overline{z})^{3}=x^{3}-3xy^{2}+i\left(y^{3}-3x^{2}y\right)=f(z).
Funções puramente em \overline{z} (como (\overline{z})^{3}) não são holomorfas (não satisfazem CR em pontos distintos de 0), mas polinômios em \overline{z} de grau \ge 1 frequentemente têm derivada complexa apenas em 0 — e a afirmação acima confirma isso neste caso.

Resposta

Pontos onde f é derivável: \{0\}.
Derivada em 0: f'(0)=0.

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