Para cada função f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} a seguir, determine os pontos z \in \mathbb{C} onde f é derivável e calcule f^{\prime}(z). f(x+i y)=x\left(x^{2}-3 y^{2}\right)+i y\left(y^{2}-3 x^{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos z\in\mathbb{C} onde f é derivável (no sentido complexo) e calcular f'(z) nesses pontos. A função é dada por
As informações relevantes que já temos: z=x+iy com x,y\in\mathbb{R} e podemos separar f em parte real u(x,y) e parte imaginária v(x,y).
Passo 2
Primeiro, vou explicar a ferramenta que vamos usar (devagar e sem pulo): para uma função f=u+iv ter derivada complexa num ponto (x,y) é (em geral) equivalente a satisfazer as equações de Cauchy–Riemann naquele ponto, desde que as derivadas parciais de u e v sejam contínuas numa vizinhança do ponto. As equações de Cauchy–Riemann são:
u_x = v_y\qquad\text{e}\qquad u_y = -v_x,
onde u_x=\frac{\partial u}{\partial x}, u_y=\frac{\partial u}{\partial y}, v_x=\frac{\partial v}{\partial x} e v_y=\frac{\partial v}{\partial y}.
Se essas equações valem e as parciais são contínuas, então f é diferenciável e a derivada complexa é dada por
Agora resolvemos o sistema x^{2}=y^{2} e xy=0. Se xy=0 então ou x=0 ou y=0. Se x=0 então x^{2}=y^{2} implica 0=y^{2} então y=0. Se y=0 então x^{2}=0 então x=0. Portanto a única solução é
x=0,\;y=0,
isto é, z=0.
Passo 5
Observação sobre continuidade: as derivadas parciais que calculamos são funções polinomiais em x,y, portanto são contínuas em toda parte. Pelo teorema de Cauchy–Riemann, as condições que achamos são, então, necessárias e suficientes para diferenciabilidade. Concluímos que f é derivável apenas no ponto
z=0.
Passo 6
Agora calculamos a derivada em z=0. Podemos usar a fórmula f'(z)=u_x+i v_x avaliada em (0,0). Usando os valores:
ou seja o quociente tende a 0, confirmando f'(0)=0.
Passo 7
Comentário útil para fixar a intuição: podemos reescrever f diretamente em termos de z e \overline{z}. Calculando (\overline{z})^{3} com \overline{z}=x-iy obtemos exatamente
Funções puramente em \overline{z} (como (\overline{z})^{3}) não são holomorfas (não satisfazem CR em pontos distintos de 0), mas polinômios em \overline{z} de grau \ge 1 frequentemente têm derivada complexa apenas em 0 — e a afirmação acima confirma isso neste caso.
Resposta
Pontos onde f é derivável: \{0\}.
Derivada em 0: f'(0)=0.