Para cada função f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} a seguir, determine os pontos z \in \mathbb{C} onde f é derivável e calcule f^{\prime}(z).
f(x+i y)=x^{4}-6 x^{2} y^{2}+y^{4}+4 i x y\left(x^{2}-y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} definida por
f(x+iy)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}+4i\,xy\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
Perguntas pedidas:
  1. Determinar os pontos z\in\mathbb{C} onde f é derivável.
  2. Calcular f'(z) nesses pontos.
Informações explícitas extraídas do enunciado: a parte real
u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}
e a parte imaginária
v(x,y)=4xy\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)=4x^{3}y-4xy^{3}.

Passo 2

Uma forma direta de reconhecer a função é tentar escrever f como uma expressão em z=x+iy. Vamos calcular (x+iy)^{2} e depois (x+iy)^{4} passo a passo.
Calculemos primeiro
(x+iy)^{2}=(x^{2}-y^{2})+2i\,xy.
Agora elevamos esse resultado ao quadrado para obter (x+iy)^{4}. Se chamarmos A=x^{2}-y^{2} e B=2xy, então
(A+iB)^{2}=A^{2}-B^{2}+2iAB.
Substituindo A e B:
A^{2}-B^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}-(2xy)^{2}=x^{4}-2x^{2}y^{2}+y^{4}-4x^{2}y^{2}=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4},
2AB=2(x^{2}-y^{2})(2xy)=4xy(x^{2}-y^{2}).
Portanto
(x+iy)^{4}=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}+4i\,xy(x^{2}-y^{2}).

Passo 3

Comparando com a expressão dada no enunciado vemos que
f(x+iy)=(x+iy)^{4}.
Ou seja, para z=x+iy temos simplesmente
f(z)=z^{4}.
Isto já é uma informação poderosa: f é um polinómio em z. Polinómios em z são diferenciáveis em todo \mathbb{C} (são funções holomorfas/analíticas inteiras). Vou, no entanto, também mostrar o cálculo via as derivadas parciais (Cauchy–Riemann) para ficar bem didático e ligado a procedimentos que você pode aplicar quando não reconhece a forma fechada.

Passo 4

Repetindo as partes real e imaginária para aplicar as equações de Cauchy–Riemann:
u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}, \qquad v(x,y)=4x^{3}y-4xy^{3}.
Calculamos as derivadas parciais (todas são polinomiais, logo contínuas):
u_x=\frac{\partial u}{\partial x}=4x^{3}-12xy^{2},
u_y=\frac{\partial u}{\partial y}=-12x^{2}y+4y^{3},
v_x=\frac{\partial v}{\partial x}=12x^{2}y-4y^{3},
v_y=\frac{\partial v}{\partial y}=4x^{3}-12xy^{2}.

Passo 5

As equações de Cauchy–Riemann exigem u_x=v_y e u_y=-v_x. Aqui vemos:
u_x=4x^{3}-12xy^{2}=v_y,
u_y=-12x^{2}y+4y^{3}=-\bigl(12x^{2}y-4y^{3}\bigr)=-v_x.
As igualdades valem para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Como as derivadas parciais são contínuas (são polinômios), isso garante que f é diferenciável em todo \mathbb{C}.

Passo 6

Para calcular f'(z) podemos usar a fórmula que dá a derivada complexa a partir das parciais quando as equações de Cauchy–Riemann valem:
f'(z)=u_x+i v_x.
Substituindo as expressões encontradas:
f'(z)=\bigl(4x^{3}-12xy^{2}\bigr)+i\bigl(12x^{2}y-4y^{3}\bigr).
Fatorando 4 obtemos
f'(z)=4\Bigl((x^{3}-3xy^{2})+i(3x^{2}y-y^{3})\Bigr).
Mas note que
(x+iy)^{3}=(x^{3}-3xy^{2})+i(3x^{2}y-y^{3}),
portanto, usando z=x+iy,
f'(z)=4(x+iy)^{3}=4z^{3}.
Isto coincide com a regra de derivação de polinômios (derivada de z^{4} é 4z^{3}).

Resposta

f é derivável para todo z\in\mathbb{C}.\n
f'(z)=4z^{3}.

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