Para cada função
a seguir, determine os pontos
onde
é derivável e calcule
.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Perguntas pedidas:
- Determinar os pontos
onde é derivável. - Calcular
nesses pontos.
Informações explícitas extraídas do enunciado: a parte real
e a parte imaginária
Passo 2
Uma forma direta de reconhecer a função é tentar escrever
como uma expressão em
. Vamos calcular
e depois
passo a passo.
Calculemos primeiro
Agora elevamos esse resultado ao quadrado para obter
. Se chamarmos
e
, então
Substituindo
e
:
Portanto
Passo 3
Comparando com a expressão dada no enunciado vemos que
Ou seja, para
temos simplesmente
Isto já é uma informação poderosa:
é um polinómio em
. Polinómios em
são diferenciáveis em todo
(são funções holomorfas/analíticas inteiras). Vou, no entanto, também mostrar o cálculo via as derivadas parciais (Cauchy–Riemann) para ficar bem didático e ligado a procedimentos que você pode aplicar quando não reconhece a forma fechada.
Passo 4
Repetindo as partes real e imaginária para aplicar as equações de Cauchy–Riemann:
Calculamos as derivadas parciais (todas são polinomiais, logo contínuas):
Passo 5
As equações de Cauchy–Riemann exigem
e
. Aqui vemos:
As igualdades valem para todos os pares
. Como as derivadas parciais são contínuas (são polinômios), isso garante que
é diferenciável em todo
.
Passo 6
Para calcular
podemos usar a fórmula que dá a derivada complexa a partir das parciais quando as equações de Cauchy–Riemann valem:
Substituindo as expressões encontradas:
Fatorando
obtemos
Mas note que
portanto, usando
,
Isto coincide com a regra de derivação de polinômios (derivada de
é
).