(2 pontos) Encontre a função
, sabendo que:
-
, para todo
;
-
;
-
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
sabendo duas coisas: uma equação diferencial e dois limites. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
- Equação diferencial (válida para todo
):
- Limites dados:
O que precisamos achar: a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições-limite.
Passo 2
Transformar a equação diferencial em uma equação com coeficientes constantes padrão. Reescrevendo:
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
(isso vem da propriedade de derivadas de exponenciais). Substituindo
obtém-se a equação característica para
:
Passo 3
Resolver a equação característica. Calculamos o discriminante:
Primeiro
. Então
Precisamos de
. Para achar
é prático usar forma polar:
, logo uma raiz quadrada é
. Isso dá
(Verificação rápida:
.)
Assim as raízes são
Calculando cada uma:
Passo 4
Como as raízes são
e
(duas raízes distintas), a solução geral da equação diferencial é combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes complexas que devemos determinar usando os limites. Aqui é importante entender: cada
é solução da ODE quando
é raiz da característica, e a combinação linear também é solução por linearidade.
Passo 5
Usar o primeiro limite para obter uma equação em
e
. Defina
Simplifico
passo a passo:
pois
e
. Logo
Quando
temos
e
, então
. Como
é representada por combinações de exponenciais (funções contínuas),
é contínua em
e o limite passa para o valor de
em
:
Usando a forma geral:
Passo 6
Usar o segundo limite para obter a segunda equação. Primeiro simplifico o argumento:
A soma é telescópica porque
. Então
Portanto
Quando
,
e
, logo
. Novamente,
é contínua (derivada de combinações de exponenciais) e portanto
Agora calcule
a partir da forma geral:
Logo em
:
Passo 7
Resolver o sistema linear para
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Observando que
.
Portanto as constantes são
e
, e obtemos:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas reconfortante): calcule
e
para checar que coincidem.
e de fato
, então as duas expressões coincidem. As condições-limite também são satisfeitas pelos valores que encontramos para
e
.