(2 pontos) Encontre a função F: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, sabendo que:
  • F^{\prime \prime}(z)+i F(z)=(1+i) F^{\prime}(z), para todo z \in \mathbb{C};
  • \lim _{n \rightarrow \infty} F\left(\frac{2023+i \ln n}{n i}\right)=2;
  • \lim _{n \rightarrow \infty} F^{\prime}\left(e^{i(\pi+1 / n)}+\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\right)=1+i.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função F:\mathbb{C}\to\mathbb{C} sabendo duas coisas: uma equação diferencial e dois limites. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
  • Equação diferencial (válida para todo z\in\mathbb{C}):
F^{\prime\prime}(z)+i\,F(z)=(1+i)\,F^{\prime}(z).
  • Limites dados:
\lim_{n\to\infty} F\!\left(\frac{2023+i\ln n}{n i}\right)=2,
\lim_{n\to\infty} F^{\prime}\!\left(e^{i(\pi+1/n)}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\right)=1+i.
O que precisamos achar: a função F(z) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições-limite.

Passo 2

Transformar a equação diferencial em uma equação com coeficientes constantes padrão. Reescrevendo:
F^{\prime\prime}(z)-(1+i)F^{\prime}(z)+iF(z)=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma F(z)=e^{rz} (isso vem da propriedade de derivadas de exponenciais). Substituindo F(z)=e^{rz} obtém-se a equação característica para r:
r^{2}-(1+i)r+i=0.

Passo 3

Resolver a equação característica. Calculamos o discriminante:
\Delta=(1+i)^{2}-4i.
Primeiro (1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i. Então
\Delta=2i-4i=-2i.
Precisamos de \sqrt{\Delta}=\sqrt{-2i}. Para achar \sqrt{-2i} é prático usar forma polar: -2i=2e^{-i\pi/2}, logo uma raiz quadrada é \sqrt{2}e^{-i\pi/4}. Isso dá
\sqrt{-2i}= \sqrt{2}\left(\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=1-i.
(Verificação rápida: (1-i)^{2}=1-2i+i^{2}= -2i.)
Assim as raízes são
r=\frac{1+i\pm(1-i)}{2}.
Calculando cada uma:
r_{1}=\frac{(1+i)+(1-i)}{2}=\frac{2}{2}=1,
r_{2}=\frac{(1+i)-(1-i)}{2}=\frac{2i}{2}=i.

Passo 4

Como as raízes são r_{1}=1 e r_{2}=i (duas raízes distintas), a solução geral da equação diferencial é combinação linear das exponenciais correspondentes:
F(z)=C e^{z}+D e^{i z},
onde C e D são constantes complexas que devemos determinar usando os limites. Aqui é importante entender: cada e^{r z} é solução da ODE quando r é raiz da característica, e a combinação linear também é solução por linearidade.

Passo 5

Usar o primeiro limite para obter uma equação em C e D. Defina
z_{n}=\frac{2023+i\ln n}{n i}.
Simplifico z_{n} passo a passo:
z_{n}=\frac{2023}{n}\cdot\frac{1}{i}+\frac{i\ln n}{n}\cdot\frac{1}{i}=\frac{2023}{n}\cdot(-i)+\frac{\ln n}{n}
pois \frac{1}{i}=-i e \frac{i}{i}=1. Logo
z_{n}=\frac{\ln n}{n}-\frac{2023\,i}{n}.
Quando n\to\infty temos \frac{\ln n}{n}\to 0 e \frac{2023}{n}\to0, então z_{n}\to 0. Como F é representada por combinações de exponenciais (funções contínuas), F é contínua em 0 e o limite passa para o valor de F em 0:
\lim_{n\to\infty} F(z_{n})=F(0)=2.
Usando a forma geral:
F(0)=C e^{0}+D e^{0}=C+D=2.

Passo 6

Usar o segundo limite para obter a segunda equação. Primeiro simplifico o argumento:
w_{n}=e^{i(\pi+1/n)}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}.
A soma é telescópica porque \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}. Então
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.
Portanto
w_{n}=e^{i(\pi+1/n)}+\frac{n}{n+1}.
Quando n\to\infty, e^{i(\pi+1/n)}\to e^{i\pi}=-1 e \frac{n}{n+1}\to 1, logo w_{n}\to -1+1=0. Novamente, F' é contínua (derivada de combinações de exponenciais) e portanto
\lim_{n\to\infty} F'(w_{n})=F'(0)=1+i.
Agora calcule F'(z) a partir da forma geral:
F'(z)=C e^{z}+i D e^{i z}.
Logo em z=0:
F'(0)=C + i D = 1+i.

Passo 7

Resolver o sistema linear para C\) e \(D\): \[\begin{cases} C+D=2,\\[4pt] C+iD=1+i. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C+iD)-(C+D)=(1+i)-2 \quad\Rightarrow\quad (i-1)D=-1+i.
Observando que -1+i=i-1\], temos \[(i-1)D=(i-1)\quad\Rightarrow\quad D=1.\] Então \(C=2-D=1.
Portanto as constantes são C=1 e D=1, e obtemos:
F(z)=e^{z}+e^{i z}.]

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas reconfortante): calcule F''+(i)F e (1+i)F' para checar que coincidem.
F''(z)=e^{z}+i^{2}e^{iz}=e^{z}-e^{iz},
F''(z)+iF(z)=(e^{z}-e^{iz})+i(e^{z}+e^{iz})=(1+i)e^{z}+(-1+i)e^{iz},
(1+i)F'(z)=(1+i)(e^{z}+ie^{iz})=(1+i)e^{z}+(i-1)e^{iz},
e de fato -1+i = i-1, então as duas expressões coincidem. As condições-limite também são satisfeitas pelos valores que encontramos para C e D.

Resposta

F(z)=e^{z}+e^{i z}

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