(4 pontos) Mostre que no semiplano \operatorname{Im} z>0, o ramo principal do logaritmo é dado por
\operatorname{Ln}(z)=\ln |z|+i \operatorname{arccotg}\left(\frac{\operatorname{Re} z}{\operatorname{Im} z}\right),
com 0<\operatorname{arccotg}\left(\frac{\operatorname{Re} z}{\operatorname{Im} z}\right)<\pi. Calcule \operatorname{Ln}(-1+i).

Passo 1

O enunciado dá o semiplano \operatorname{Im} z>0 (ou seja, números complexos z=x+iy com y>0) e pede duas coisas:
  1. Mostrar que, nesse semiplano, o ramo principal do logaritmo é
\operatorname{Ln}(z)=\ln |z|+i\,\operatorname{arccotg}\!\left(\frac{\operatorname{Re} z}{\operatorname{Im} z}\right),
com 0<\operatorname{arccotg}\!\left(\frac{\operatorname{Re} z}{\operatorname{Im} z}\right)<\pi.
2) Calcular \operatorname{Ln}(-1+i).
As informações relevantes: z=x+iy com x=\operatorname{Re} z, y=\operatorname{Im} z>0; |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Lembrete básico (mini-aula): o ramo principal do logaritmo complexo de z é definido por
\operatorname{Ln}(z)=\ln|z|+i\,\Arg(z),
onde \ln|z| é o logaritmo natural do módulo e \Arg(z) é o argumento principal de z. O argumento principal \Arg(z) é o ângulo \theta tal que, escrevendo z em forma polar,
z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta),
temos que \theta pertence ao intervalo padrão do ramo principal. Normalmente o ramo principal toma \theta\in(-\pi,\pi]. No entanto, se já sabemos que y=\operatorname{Im} z>0, então geometricamente o ponto está no semiplano superior e o ângulo \theta que representa a direção de z satisfaz
0<\theta<\pi.
Nesse caso, o argumento principal coincide com esse \theta no intervalo (0,\pi).

Passo 3

Agora vamos relacionar esse ângulo \theta com \operatorname{Re} z e \operatorname{Im} z. Se z=x+iy e y>0, pela forma polar:
\cos\theta=\frac{x}{|z|},\qquad \sin\theta=\frac{y}{|z|}.
Dividindo as duas expressões, obtemos a cotangente do ângulo:
\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{x/|z|}{y/|z|}=\frac{x}{y}.
Portanto \theta satisfaz \cot\theta=\dfrac{x}{y}.

Passo 4

Agora uma observação sobre a função \cot e sua inversa: a função
\cot:(0,\pi)\to\mathbb{R}
é bijetora (é contínua e estritamente decrescente de +\infty a -\infty), logo possui inversa sobre \mathbb{R}. Essa inversa é exatamente a função \operatorname{arccotg}:\mathbb{R}\to(0,\pi). Assim, dado t\in\mathbb{R}, a equação \cot\theta=t tem única solução \theta=\operatorname{arccotg}(t) com \theta\in(0,\pi).
Aplicando isso ao caso t=\dfrac{x}{y}, obtemos
\theta=\Arg(z)=\operatorname{arccotg}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\operatorname{arccotg}\!\left(\frac{\operatorname{Re} z}{\operatorname{Im} z}\right),
e, como vimos, essa \theta satisfaz 0<\theta<\pi porque y>0.

Passo 5

Juntando a definição do ramo principal com a expressão do argumento obtemos a fórmula pedida: para z com \operatorname{Im} z>0,
\operatorname{Ln}(z)=\ln|z|+i\,\operatorname{arccotg}\!\left(\frac{\operatorname{Re} z}{\operatorname{Im} z}\right),
onde 0<\operatorname{arccotg}\!\left(\dfrac{\operatorname{Re} z}{\operatorname{Im} z}\right)<\pi. Essa é exatamente a identidade que a questão pede para mostrar.

Passo 6

Vamos calcular \operatorname{Ln}(-1+i). Aqui x=-1 e y=1 (e y>0 então podemos usar a fórmula). Primeiro o módulo:
|{-1}+i|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},
portanto
\ln|{-1}+i|=\ln\sqrt{2}=\tfrac{1}{2}\ln 2.
Agora o argumento:
\operatorname{arccotg}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\operatorname{arccotg}\!\left(\frac{-1}{1}\right)=\operatorname{arccotg}(-1).
Procuramos \theta\in(0,\pi) tal que \cot\theta=-1. Uma solução nesse intervalo é \theta=\tfrac{3\pi}{4} (porque \cot\!\tfrac{3\pi}{4}=\cos(3\pi/4)/\sin(3\pi/4) = (-\tfrac{\sqrt{2}}{2})/(\tfrac{\sqrt{2}}{2})=-1). Logo
\operatorname{arccotg}(-1)=\tfrac{3\pi}{4}.
Portanto
\operatorname{Ln}(-1+i)=\tfrac{1}{2}\ln 2 + i\,\tfrac{3\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \operatorname{Ln}(z)=\ln|z|+i\,\operatorname{arccotg}\!\left(\frac{\operatorname{Re} z}{\operatorname{Im} z}\right), com 0<\operatorname{arccotg}\!\left(\frac{\operatorname{Re} z}{\operatorname{Im} z}\right)<\pi.\n \displaystyle \operatorname{Ln}(-1+i)=\tfrac{1}{2}\ln 2 + i\,\tfrac{3\pi}{4}.

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