(4 pontos) Mostre que no semiplano
, o ramo principal do logaritmo é dado por
com
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá o semiplano
(ou seja, números complexos
com
) e pede duas coisas:
- Mostrar que, nesse semiplano, o ramo principal do logaritmo é
com
.
2) Calcular .
2) Calcular
As informações relevantes:
com
,
;
. A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Lembrete básico (mini-aula): o ramo principal do logaritmo complexo de
é definido por
onde
é o logaritmo natural do módulo e
é o argumento principal de
. O argumento principal
é o ângulo
tal que, escrevendo
em forma polar,
temos que
pertence ao intervalo padrão do ramo principal. Normalmente o ramo principal toma
. No entanto, se já sabemos que
, então geometricamente o ponto está no semiplano superior e o ângulo
que representa a direção de
satisfaz
Nesse caso, o argumento principal coincide com esse
no intervalo
.
Passo 3
Agora vamos relacionar esse ângulo
com
e
. Se
e
, pela forma polar:
Dividindo as duas expressões, obtemos a cotangente do ângulo:
Portanto
satisfaz
.
Passo 4
Agora uma observação sobre a função
e sua inversa: a função
é bijetora (é contínua e estritamente decrescente de
a
), logo possui inversa sobre
. Essa inversa é exatamente a função
. Assim, dado
, a equação
tem única solução
com
.
Aplicando isso ao caso
, obtemos
e, como vimos, essa
satisfaz
porque
.
Passo 5
Juntando a definição do ramo principal com a expressão do argumento obtemos a fórmula pedida: para
com
,
onde
. Essa é exatamente a identidade que a questão pede para mostrar.
Passo 6
Vamos calcular
. Aqui
e
(e
então podemos usar a fórmula). Primeiro o módulo:
portanto
Agora o argumento:
Procuramos
tal que
. Uma solução nesse intervalo é
(porque
). Logo
Portanto