Para cada função
a seguir, determine se é injetora, sobrejetora e/ou bijetora. Caso a função seja bijetora, calcule sua inversa.
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Passo 1
O enunciado dá a função f: [0,3π/2) → ℝ definida por f(x)=cos(x) e pede para testar injetividade, sobrejetividade e bijetividade (e inverter caso bijetora). Vamos usar teoria de monotonicidade e imagem de funções trigonométricas.
Passo 2
Para testar injetividade, notamos que o cosseno em [0,3π/2) não é monotônico: ele decresce de x=0 até x=π e depois cresce de x=π até x→3π/2. Logo existem valores x₁≠x₂ tais que cos(x₁)=cos(x₂) (por exemplo cos(2π/3)=cos(4π/3)). Assim f não é injetora.
Passo 3
Para a sobrejetividade (no contradomínio ℝ), a imagem de cos(x) em [0,3π/2) é o intervalo [-1,1], pois atinge mínimo -1 em x=π e máximo 1 em x=0, mas não explora valores fora de [-1,1]. Como ℝ é maior que [-1,1], f não é sobrejetora. Consequentemente não é bijetora, e não há inversa definida globalmente.
Resposta
f não é injetora, não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora.