Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, onde precisamos integrar funções que envolvem potências e raízes quadradas. Para isso, vamos usar uma técnica de substituição que vai simplificar a expressão e facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 3
Queremos expressar toda a integral em termos de
. Sabemos que:
Substituindo isso na integral original, temos:
Mas ainda temos um
no denominador. Como já sabemos que
, podemos isolar
:
Passo 4
Substituindo
na integral, ficamos com:
Simplificando os coeficientes:
Portanto, a integral agora é:
Passo 5
Para resolver
, podemos expandir a expressão dentro da raiz:
Essa integral pode ser um pouco complicada de resolver analiticamente, mas podemos usar métodos de integração mais avançados ou calcular numericamente.
Passo 6
Como a integral definida está de 0 a 1 em
, precisamos ajustar os limites para
. Quando
:
Quando
:
Então, a integral fica:
Essa integral pode ser calculada numericamente para obter um valor aproximado.
Resposta
Após realizar os cálculos, o valor aproximado da integral é $ \approx 0,297 $.