Queremos resolver a equação:
partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2, 00
com as condições:
u(0, t) & =0, u(pi, t)=0, t>0 u(x, 0) & =sin (2 x), partial upartial t|t=0=0, 0
Aplicamos a transformada de Laplace com respeito à variável t, lembrando que:
Lpartial^2 upartial t^2=s^2 U(x, s)-s u(x, 0)-partial upartial t|t=0
Substituindo as condições iniciais:
u(x, 0)=sin (2 x), partial upartial t|t=0=0
obtemos:
partial^2 Upartial x^2=s^2 U(x, s)-s sin (2 x)
Reescrevendo a equação:
d^2 Ud x^2-s^2 U(x, s)=-s sin (2 x)
A equação a resolver é:
d^2 Ud x^2-s^2 U=-s sin (2 x)
Esta é uma equação linear não homogênea. A solução geral é da forma:
U(x, s)=Uh(x, s)+Up(x, s)
onde: - Uh é a solução da equação homogênea:
d^2 Uhd x^2-s^2 Uh=0
  • Up é uma solução particular da equação completa.
    A equação homogênea é:
d^2 Uhd x^2-s^2 Uh=0
A equação característica associada é:
r^2-s^2=0 Rightarrow r= pm s
Portanto, a solução geral da homogênea é:
Uh(x, s)=A(s) e^s x+B(s) e^-s x
As condições de contorno são:
u(0, t)=0 Rightarrow U(0, s)=0, u(pi, t)=0 Rightarrow U(pi, s)=0.
Aplicamos em Uh(x, s) :
1^a condição: x=0 :
U(0, s)=A(s) e^0+B(s) e^0=A(s)+B(s)=0 Rightarrow B(s)=-A(s)
2^a condição: x=pi :
U(pi, s)=A(s) e^s pi+B(s) e^-s pi=A(s) e^s pi-A(s) e^-s pi
Fatoramos A(s) :
A(s)(e^s pi-e^-s pi)=0
Como e^s pi-e^-s pi neq 0, temos:
A(s)=0 Rightarrow B(s)=0
Portanto, a solução homogênea é:
Uh(x, s)=0
A equação não homogênea é:
d^2 Upd x^2-s^2 Up=-s sin (2 x)
Procuramos uma solução particular do tipo:
Up(x, s)=alpha(s) sin (2 x)
Calculamos a segunda derivada:
d^2 Upd x^2=-4 alpha(s) sin (2 x)
Substituímos na equação:
-4 alpha(s) sin (2 x)-s^2 alpha(s) sin (2 x)=-s sin (2 x)
Fatorando:
alpha(s)(-4-s^2) sin (2 x)=-s sin (2 x)
Cancelando sin (2 x) dos dois lados (válido pois sin (2 x) neq 0 para 0 ):
alpha(s)(-4-s^2)=-s Rightarrow alpha(s)=ss^2+4
Portanto:
U(x, s)=ss^2+4 sin (2 x)
Precisamos aplicar a transformada inversa em:
U(x, s)=ss^2+4 sin (2 x)
A transformada de Laplace conhecida é:
L^-1ss^2+a^2=cos (a t)
Aqui, a=2, portanto:
L^-1ss^2+4=cos (2 t)
Logo:
u(x, t)=sin (2 x) cos (2 t)
u(x, t)=sin (2 x) cos (2 t)

Passo 1

A gente quer resolver a equação de ondas partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2 no intervalo 0, t>0, com as condições de contorno u(0,t)=0, u(pi,t)=0 e de valor inicial u(x,0)=sin(2x), partialt u(x,0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace em t para transformar a PDE numa ODE em x.

Passo 2

Aplicando Lpartial^2t u=s^2U(x,s)-s,u(x,0)-partialtu(x,0) e usando u(x,0)=sin(2x), partialtu(x,0)=0, obtemos

Passo 3

partial^2 Upartial x^2=s^2U(x,s)-ssin(2x)
Que reescreve como a ODE não homogênea

Passo 4

d^2Udx^2-s^2U=-ssin(2x)

Passo 5

Para a parte homogênea d^2Uh/dx^2-s^2Uh=0 a solução geral é
Uh(x,s)=A(s)e^sx+B(s)e^-sx
Impondo U(0,s)=0 A+B=0, e U(pi,s)=0 A(e^spi-e^-spi)=0, logo A=B=0 e Uh=0.

Passo 6

Para a solução particular assumimos Up=alpha(s)sin(2x). Como
d^2Updx^2=-4alpha(s)sin(2x),
substituindo na ODE:
(-4-s^2)alpha(s)sin(2x)=-ssin(2x)
o que leva a
alpha(s)=ss^2+4
Assim
U(x,s)=ss^2+4sin(2x)

Passo 7

Por fim, invertemos a transformada usando L^-1s/(s^2+a^2)=cos(at) com a=2. Isso dá
u(x,t)=sin(2x)cos(2t)

Resposta

u(x,t)=\sin(2x)\cos(2t)

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