U(pi, s)=A(s) e^s pi+B(s) e^-s pi=A(s) e^s pi-A(s) e^-s pi
Fatoramos A(s) :
A(s)(e^s pi-e^-s pi)=0
Como e^s pi-e^-s pi neq 0, temos:
A(s)=0 Rightarrow B(s)=0
Portanto, a solução homogênea é:
Uh(x, s)=0
A equação não homogênea é:
d^2 Upd x^2-s^2 Up=-s sin (2 x)
Procuramos uma solução particular do tipo:
Up(x, s)=alpha(s) sin (2 x)
Calculamos a segunda derivada:
d^2 Upd x^2=-4 alpha(s) sin (2 x)
Substituímos na equação:
-4 alpha(s) sin (2 x)-s^2 alpha(s) sin (2 x)=-s sin (2 x)
Fatorando:
alpha(s)(-4-s^2) sin (2 x)=-s sin (2 x)
Cancelando sin (2 x) dos dois lados (válido pois sin (2 x) neq 0 para 0 ):
alpha(s)(-4-s^2)=-s Rightarrow alpha(s)=ss^2+4
Portanto:
U(x, s)=ss^2+4 sin (2 x)
Precisamos aplicar a transformada inversa em:
U(x, s)=ss^2+4 sin (2 x)
A transformada de Laplace conhecida é:
L^-1ss^2+a^2=cos (a t)
Aqui, a=2, portanto:
L^-1ss^2+4=cos (2 t)
Logo:
u(x, t)=sin (2 x) cos (2 t)
u(x, t)=sin (2 x) cos (2 t)
Passo 1
A gente quer resolver a equação de ondas partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2 no intervalo 0, t>0, com as condições de contorno u(0,t)=0, u(pi,t)=0 e de valor inicial u(x,0)=sin(2x), partialt u(x,0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace em t para transformar a PDE numa ODE em x.
Passo 2
Aplicando Lpartial^2t u=s^2U(x,s)-s,u(x,0)-partialtu(x,0) e usando u(x,0)=sin(2x), partialtu(x,0)=0, obtemos
Passo 3
partial^2 Upartial x^2=s^2U(x,s)-ssin(2x)
Que reescreve como a ODE não homogênea
Passo 4
d^2Udx^2-s^2U=-ssin(2x)
Passo 5
Para a parte homogênea d^2Uh/dx^2-s^2Uh=0 a solução geral é
Uh(x,s)=A(s)e^sx+B(s)e^-sx
Impondo U(0,s)=0 dá A+B=0, e U(pi,s)=0 dá A(e^spi-e^-spi)=0, logo A=B=0 e Uh=0.
Passo 6
Para a solução particular assumimos Up=alpha(s)sin(2x). Como
d^2Updx^2=-4alpha(s)sin(2x),
substituindo na ODE:
(-4-s^2)alpha(s)sin(2x)=-ssin(2x)
o que leva a
alpha(s)=ss^2+4
Assim
U(x,s)=ss^2+4sin(2x)
Passo 7
Por fim, invertemos a transformada usando L^-1s/(s^2+a^2)=cos(at) com a=2. Isso dá