Passo 1
Vamos resolver a integral
. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar utilizar técnicas de substituição e entender como manipular frações algébricas.
Passo 2
Primeiro, observe o denominador da fração:
. Vamos calcular a derivada desse polinômio para ver se ela se relaciona com o numerador.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, compare a derivada que obtivemos com o numerador da integral, que é
. Perceba que:
Isso significa que o numerador é metade da derivada do denominador.
Passo 4
Com essa relação, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
Passo 5
Agora, use a técnica de substituição. Seja:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Observamos que o numerador
é exatamente
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta para expressar a resposta em termos de
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.