integral x-2x^2-4 x+2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x-2x^2-4 x+2 , dx. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar utilizar técnicas de substituição e entender como manipular frações algébricas.

Passo 2

Primeiro, observe o denominador da fração: x^2 - 4x + 2. Vamos calcular a derivada desse polinômio para ver se ela se relaciona com o numerador.
A derivada de x^2 - 4x + 2 em relação a x é:
ddx(x^2 - 4x + 2) = 2x - 4

Passo 3

Agora, compare a derivada que obtivemos com o numerador da integral, que é x - 2. Perceba que:
x - 2 = 12(2x - 4)
Isso significa que o numerador é metade da derivada do denominador.

Passo 4

Com essa relação, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
integral x-2x^2-4x+2 , dx = integral 12(2x - 4)x^2-4x+2 , dx = 12 integral 2x - 4x^2-4x+2 , dx

Passo 5

Agora, use a técnica de substituição. Seja:
u = x^2 - 4x + 2
Então, a derivada de u em relação a x é:
du = (2x - 4) , dx
Observamos que o numerador 2x - 4 é exatamente du.

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
12 integral duu = 12 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta para expressar a resposta em termos de x:
12 ln|x^2 - 4x + 2| + C

Resposta

A integral integral x-2x^2-4 x+2 , dx é igual a 12 ln|x^2 - 4x + 2| + C, onde C é a constante de integração.

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